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电磁场之拉普拉斯运算和格林定理及亥姆霍兹定理-5

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1 拉普拉斯运算

在直角坐标系中：

在圆柱坐标系中：

在球坐标系中：

必须注意，只有对直角分量才有：

格林定理又称格林恒等式，是由散度定理导出的重要数学恒等式。

格林第一恒等式：

格林第二恒等式：

格林定理描述了两个标量场之间满足的关系，如果已知其中一个场的分布，可以利用格林定理求解另一个场的分布。因此格林定理在电磁场中有着广泛的应用。

矢量场的散度和旋度都是表示矢量场的性质的量度，一个矢量场所具有的的性质，可由它的散度和旋度来说明。而且，可以证明：在有限的区域V内，任一矢量由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面上的矢量场的分布）唯一地确定，且表示为：

这就是亥姆霍兹定理，它表明：

亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，其意义是非常重要的。分析矢量场时，总是从研究它的散度和旋度着手，得到的散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本方程的微分形式；或者从矢量场沿闭合曲面的通量和沿闭合路径的环流着手，得到矢量场的基本方程的积分形式。

来源：电机设计青年

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首次发布时间：2026-06-11

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