作业9-4答案 圆轴直径受力后的作用

一、题目

图示圆轴直径     ，受弯曲外力偶矩      与扭转外力偶矩      作用。若测得轴表面上      点轴向线应变     ，     点沿与轴线成      方向的线应变     。材料的弹性模量     ，泊松比     ，试求      与     。

二、受力状态与测点应力分析

圆轴同时承受：

• 绕        轴的弯曲外力偶矩       ；
• 绕        轴的扭转外力偶矩       。

轴线方向为      方向。弯曲外力偶矩      会在圆轴横截面上产生轴向正应力     ，其大小沿截面高度方向线性分布；扭转外力偶矩      会在圆轴表面产生切应力。

1.      点的应力状态

由图可知，     点位于圆截面上方，即距离弯曲中性轴最远的位置。

对绕      轴弯曲而言，弯曲正应力为：

在      点，    ，因此      点弯曲正应力达到最大值。

另一方面，扭转      虽然也会在      点产生切应力，但题目给出的是      点沿轴向的线应变     。在轴向方向上，扭转切应力不会直接产生轴向正应变。因此，     点测得的轴向线应变主要用于确定弯曲正应力，从而求     。

所以      点可按轴向单向正应力处理：

2.      点的应力状态

    点位于圆截面侧面。对绕      轴的弯曲而言，     点位于弯曲中性轴上，即     ，所以：

因此，     点的应力状态主要由扭转      引起。

在      点处建立局部坐标：

•      ：轴线方向；
•      ：圆周切向方向。

扭转作用下，     点处于纯剪应力状态：

题目测得      点沿与轴线成      方向的线应变：

由于      点是纯剪应力状态，     和      方向为主方向。因此可先用广义胡克定律由      求该方向正应力，再求扭转剪应力     。

三、由      点轴向应变求     

已知：

由胡克定律：

代入：

圆截面对      轴的惯性矩为：

代入     ：

圆轴半径为：

由弯曲正应力公式：

所以：

代入：

即：

四、由      点      方向线应变求该方向正应力

在      点，弯曲正应力为零，主要为纯剪应力状态：

在纯剪应力状态下，     与      方向为主方向，且两主应力大小相等、符号相反（见应力圆）：

由广义胡克定律：

因为：

所以：

因此：

代入：

得：

由应力圆可知    

这说明按刘鸿文教材的符号约定，     点扭转切应力为正，且大小为：

五、由扭转剪应力求     

圆轴极惯性矩为：

代入     ：

圆轴半径为：

由扭转剪应力公式：

所以：

代入：

即：

七、最终结果

其中：

•       由        点轴向线应变确定；
•       由        点        方向线应变确定；
• 应力变换公式采用刘鸿文教材中的切应力符号约定。