两机叶片丨南航：航空发动机叶片裂纹-碰摩耦合故障动力学建模与分析

叶片是航空发动机关键部件之一，也是最薄弱环节。统计显示，由振动引发的故障占航空发动机总故障的60%以上，其中叶片振动引发的故障占振动故障的70%以上。叶片裂纹与碰摩故障通常以耦合方式出现，裂纹导致叶尖间隙减小，引发碰摩，进而加剧裂纹扩展，形成恶性循环，最终可能引发严重事故。因此，研究裂纹-碰摩耦合故障的动力学机理非常重要。

在早期裂纹故障建模研究中，Papadopoulos等建立了常开裂纹模型，但实际裂纹在拉伸循环中有张开的可能，在压缩循环中有闭合的可能。学者研究了更贴近实际的呼吸裂纹模型。例如，Mayes等将呼吸裂纹的时变刚度等效为1阶正弦函数，模拟裂纹接触面的连续变化；Zhao等提出了基于裂纹接触区域变化的模型，更真实地反映了裂纹闭合过程。

早期关于含裂纹旋转叶片的动力学研究多采用集中参数模型，研究裂纹对叶片模态参数和振动响应特性的影响。如Hou基于集中质量梁建立多叶片盘模型，使用质量点和弹簧模拟叶片，将裂纹表示为根部有贯通裂纹的集中质量梁。为更贴切建立叶片裂纹模型，部分学者采用连续参数模型对含裂纹单叶片进行振动建模。王璋奇等采用由铰链弹簧连接的两个系统对裂纹叶片建模，研究裂纹位置和深度对固有频率的影响。吴志渊等基于有限元法，采用Timoshenko梁理论对叶片建模，并建立了转子模型，对含裂纹叶片的转子系统进行了分析。

在转静子碰摩研究中，按碰摩区域可将其分为单点碰摩、局部碰摩和全周碰摩。单点碰摩指在一个周期内转子与静子总是在某一点发生碰摩；局部碰摩是指在一个周期内，转子与静子多次发生不连续的接触碰撞；全周碰摩是指转子在旋转一周过程中与静子持续碰摩。Ma等建立了转子系统的环四点碰摩有限元模型。陈果等提出了一种考虑叶片数和转静间隙变化的新型叶片-机匣碰摩模型。

为了研究耦合故障下的叶片振动机理，Tang等以欧拉梁对叶片建模，并将机匣简化为质量点，推导出裂纹和碰摩冲击的影响系数矩阵，建立了裂纹叶片的修正碰摩力模型。然而，该模型中叶片模型仅采用欧拉梁，并且该模型假设碰摩过程中裂纹处于常开或常闭状态。

综上所述，目前的研究多基于单一故障进行建模，对于裂纹-碰摩耦合故障的研究较少。本文提出了一种裂纹-碰摩耦合故障模型，对含裂纹-碰摩耦合故障叶片动力学特性进行了仿真，详细分析了裂纹-碰摩耦合故障下的叶片振动特征及规律。

1.1 裂纹叶片动力学建模

将叶片离散为n个矩形梁单元，如图1所示。对各单元均采用6自由度的Timoshenko梁单元进行建模，健康叶片单元刚度、质量矩阵已由文献给出。

图1 盘叶片系统示意图

对含裂纹的叶片梁单元进行单独建模，假设裂纹不影响单元的质量矩阵，只改变单元的刚度矩阵。矩形裂纹梁单元的示意图如图2和图3所示，假定其为第k个单元，其长度为l_k，宽度为b，厚度为h，裂纹深度为a，裂纹深度比ξ被定义为裂纹深度与叶片厚度的比值，裂纹与左节点的距离为x，裂纹位置比则是x与叶片总长度的比值。

图2 裂纹叶片单元示意图

图3 裂纹面示意图

在矩形梁单元上作用有剪力P₂、P₃和P₈、P₉，弯矩P₄、P₅和P₁₁、P₁₂，轴向力P₁和P₇，扭转矩P₄和P₁₀。裂纹单元的柔度系数可表示为：

式中：P₂、P₃为剪力，xP₂-P₆、xP₃+P₅为弯矩，P₄为扭矩，P₁为轴向力。A为梁单元截面面积，κ为剪切系数，E为弹性模量，G为剪切模量，I_z、I_y为截面的面积矩。

裂纹引起的附加应变能U^c可表示为：

式中：F₁、F₂、F_II、F_III参照文献得到。将式(4)至式(6)代入式(3)可得裂纹梁单元柔度矩阵G_c。利用有限元静力平衡的变换矩阵T，进一步推导出相应的刚度矩阵。刚度矩阵为：

离心导致刚度矩阵、旋转软化矩阵与健康单元相一致。

1.2 呼吸裂纹模型

在裂纹面上，轴向应力由轴向离心力F_c以及绕y^e、z^e轴的弯矩M_y、M_z共同引起。其中离心力和弯矩分别可表示为：

由于裂纹面平行于y^eo^ez^e平面，这意味着M_y、M_z、F_c都为定值，故σ_p在平面上是单调变化的。因此，可通过裂纹面4个端点的应力值来确定应力为零的边界线，并据此求出边界上应力为零点的坐标，计算流程如图4所示。

图4 裂纹接触面积因子计算流程图

首先，计算裂纹面4个端点处的应力值σ_A、σ_B、σ_C、D，将大于0的状态设为1，小于0的状态设为0，并将这些应力值转换为4位二进制数IF。基于这种二进制编码，可以区分出16种应力分布状态。对于每一种状态，可以确定应力为零点所在的边界线，从而求得对应边界线上的应力为0点坐标y₁、y₂、z₁、z₂，依此可计算裂纹接触面积因子r，其中r=S_OPEN/A_C，其值可由式(11)计算得到。r=0时裂纹全闭，r=1时裂纹全开。当IF为5和10时，理论上不会出现4个应力为零的点，所以该情况不会出现。

1.3 碰摩模型

针对航空发动机叶片与机匣碰摩故障，本文采用一种基于机匣变形的碰摩模型，该模型能够考虑转静间隙变化对碰摩力的影响。图5为叶片-机匣碰摩模型，设转速为ω_r，转静间隙分布曲线为c(q)，其中q为机匣圆周角度，碰摩刚度为k_r，摩擦系数为f。

图5 碰摩模型间隙与接触示意图

时刻叶片振动位移为x_b、y_b，叶片在径向的位移：r_b=x_b。在角度θ_b处，转静间隙为c(θ_b)。则在t时刻，叶片与机匣是否发生碰摩的判断条件为θ_b>c(θ_b)。如果不满足碰摩条件，则碰摩力为零；若满足碰摩条件而发生碰摩，碰摩法向力和碰摩切向力可表示为：

1.4 耦合动力学模型

将盘作为集中质量点，对单元的运动方程进行组装，可得到叶片运动方程：

式中，M为叶片的总体质量矩阵；K为转子叶片总体

本文建立的叶片参数如下表1所示，该尺寸适用于常见的航空发动机转子实验器。对所建立的无裂纹叶片模型进行1阶固有频率分析，ANSYS的结果为364.31Hz，本文所建立模型的计算结果为365.991Hz。

表1 叶片详细参数表

进一步使用ANSYS和此模型计算不同裂纹位置比和不同裂纹深度比的裂纹叶片1阶固有频率，结果和相对误差如图6所示。其中，最大相对误差为1.36%，可以证明本文裂纹模型的有效性。

选取叶片裂纹深度比为0.5，裂纹位置比为0.1，在超谐共振条件下(即设置旋转速度为1980r/min)施加气流力进行振动响应分析。其中，气流力被简化为施加在每个节点周向幅值为50N、频率 f_e=5f_r的正弦力，分步长设置为5×10^-5s，同时采用ANSYS的动态响应模块在该条件下进行计算。动态响应结果如图7所示。本文所用方法与ANSYS的动态响应结果基本一致，证明了本文呼吸裂纹模型的有效性。

图6 开裂纹叶片1阶固有频率结果

图 7 动态响应结果对比图

3.1 离心力和气流力复合激励下的振动响应

超谐共振条件下，即转速被设置为1980r/min，裂纹位置比被设置为0.1，气流力被简化为施加在每个节点周向幅值为50N、频率f_e=5f_r的正弦力。不同裂纹深度比下的叶尖弯曲振动位移的频谱如图8所示。

图8 弯曲振动频谱图

可以看到，与无裂纹叶片相比，裂纹叶片叶尖的振动响应中出现了显著的常值和倍频分量，一倍频分量值也更大。图9中进一步对比了常值分量、气流激励的一倍频及二倍频分量的幅值。从图中可以看到随着裂纹增大，这3个频率分量的幅值也随之增大。

裂纹单元弯曲刚度系数K(2,2)的变化如图10所示。当裂纹较小时，刚度系数变化接近双线性模型。随着裂纹增大，裂纹的呼吸过程持续时间变长。当裂纹深度比为0.4和0.5时，1阶固有频率随着裂纹深度比增大而减小，此时激励频率更接近固有频率的二分之一，此时会出现较大的二倍频分量，在图中表现为出现第二个小峰。

分析对弯矩起最大贡献的点A的轴向应力，结果如图11所示。可以看到应力幅值随裂纹深度度比增大而增大，且深度大于0.3时，应力曲线出现了与刚度矩阵中弯曲刚度系数K(2,2)值类似的第二个小峰。

图9 不同频率分量幅值对比图

图10 裂纹单元弯曲刚度系数时域图

图11 裂纹截面A点轴向应力

叶片裂纹深度比设定为0.5，裂纹位置比与气流激励与上文中一致，对旋转速度在0至7000r/min范围内每隔50r/min取值一次，计算所得不同转速下的弯曲位移频谱瀑布图如图12所示。

图12 叶尖弯曲振动瀑布图

可以看出图中存在明显的常值分量，且当激励频率接近固有频率时，常值分量也会出现峰值。当转速低于5400r/min时，会出现明显的气流激励频率的二倍频及高倍频分量；而当转速超过5400r/min时这些分量消失，此时在裂纹的呼吸过程中，离心应力起主导作用，导致裂纹始终保持张开状态，其表现为一个带开裂纹的线性系统。

不同转速下的弯曲刚度系数K(2,2)的变化如图13所示。

图13 不同转速下弯曲刚度系数响应

可以看到，裂纹刚度系数的变化与弯曲振动和转速的变化密切相关。在1阶固有频率附近，弯曲振动的增大比离心应力随转速增加的变化更为显著，此时弯曲应力对呼吸作用起主导作用，裂纹呼吸也表现为双线性。当转速继续增大时激励频率远离1阶固有频率，离心应力在呼吸过程中起主导作用，导致裂纹的持续张开部分占比更大。在转速为6000r/min时，呼吸效应消失，裂纹刚度系数值与开裂纹时一致。

3.2 离心力和气流力激励下的碰摩响应分析

为了模拟机匣单点碰摩，可以在机匣的特定位置设置局部变形。假设在角度θ_c处，变形量为C，并且在±β°角度范围内考虑用余弦函数来模拟该变形，设初始间隙为D，在不同角度上的间隙值可通过式(15)计算。其中0<θ≤2π，本文中设D为1.5mm，设C为1.4mm。

图14 不同裂纹深度下弯曲振动频谱

当不存在裂纹仅发生碰摩时，频谱中出现了显著的转速倍频分量，特别是2倍气流激励频率，因为其接近叶片的固有频率，因此幅值较大。随着裂纹深度的增加，弯曲振动频谱中各个频率分量的幅值也随之增大。

图15 不同频率分量幅值对比

图15中进一步展示了常值分量以及气流激励的1倍频和2倍频分量的幅值。从图中可以看出，随着裂纹深度比增大，这3个频率分量幅值也随之增大。图16中比较了裂纹-碰摩耦合故障与仅发生裂纹故障时的频率分量幅值，结果显示，在发生裂纹-碰摩耦合故障情况下，3个频率分量的幅值均大于仅存在裂纹时的情况。

图16 裂纹-碰摩耦合故障下与仅碰摩故障下频率分量对比

当裂纹深度比ξ分别为0.2和0.5时，含裂纹-碰摩耦合故障的叶片的弯曲刚度系数K(2,2)变化如图17和图18所示。

图18 弯曲刚度系数K(2,2)值(ξ=0.5)

在碰摩发生后，弯曲刚度系数曲线经历了振荡，随后逐渐趋向于开裂纹状态下的刚度值。这主要是因为在叶片旋转过程中，裂纹在叶片中的位置与旋转方向一致，碰摩瞬间导致裂纹张开，从而使得弯曲刚度系数在后续时间步内保持较低值。在后续周期中，裂纹张开的比例比仅有裂纹时更大，但在下一次碰摩发生前的振动过程中，这种比例会逐渐衰减。特别是由于碰摩的影响，原本的小峰值消失，弯曲刚度系数在后续时间步中与开裂纹状态下的值一致，见图18。

分析对弯矩贡献最大的点A处的轴向应力，结果如图19所示。

图19 裂纹截面A点轴向应力

可以观察到，随着裂纹深度比的增大，应力幅值也相应增大。在碰摩发生后，应力幅值也会更大。这可能是由于碰摩导致裂纹张开时间更长，刚度降低，振动位移增大，从而引起更高的应力水平，最终可能导致叶片断裂。

在与上一小节相同的条件下，设置相同的间隙。图20中展示了不同转速下的弯曲位移响应频谱瀑布图。从图中可以看到明显的常值分量，并且当激励频率接近固有频率时，常值分量也会出现峰值。此外，还会出现明显的转速倍频分量。

图20 含碰摩故障时弯曲位移响应频谱瀑布图

本文建立了叶片裂纹-碰摩耦合故障模型，并对不同裂纹深度比下的叶尖弯曲振动响应、裂纹面弯曲刚度系数以及裂纹面上对弯矩贡献最大的点A处的应力进行了分析。得到以下结论：

(1)当叶片存在裂纹时，叶尖弯曲位移频谱中有明显的常值分量，并且在激励频率接近固有频率时出现显著峰值。此外，当转速低于某一水平时，会出现气流激励频率的二倍频及高倍频分量；而当转速较高时，这些分量会消失，表现为一个带开裂纹的线性系统。

(2)在裂纹-碰摩耦合故障情况下，与仅存在裂纹时的情形相比，弯曲振动的常值分量幅值及气流激励一倍频、二倍频分量幅值均有所增大。

(3)在裂纹-碰摩耦合作用下，碰摩会使裂纹完全张开的时间在整个周期内占比更大，从而使得裂纹叶片应力处于较高水平，进而可能最终导致叶片断裂。