有限元基础知识：三角形和四面体单元计算奇淫巧技

本次内容与我的B站视频《实践有限元：单元计算实践技巧》内容一致，大家看过其中一个就好。

一阶三角形与四面体单元由于其插值函数的特殊性，所以计算的时候无需那么按部就班，为了快其实可以搞一些简便算法，以下就是计算的小技巧。

正常来说单元刚度矩阵可以由如下的方式计算得到：

就是我们熟悉的

而对于矩阵的计算核心在于求，又可以通过雅阁比矩阵转换为以下的形式

同理，雅阁比矩阵也可以通过以下形式表示出来

那么我们就会发现，其实核心是求红色的部分

对于上述两种单元，由于其插值函数是线性的，那么插值函数对于参数坐标的导数就是个常数，我们由插值函数的形式就可以直接写出来：

对于线性三角形单元，我们有：

所以我们可以直接写出：

然后我们可以正常矩阵求解获得刚度矩阵，但是由于上述的特殊性，其实有简单算法！

带进去，你就能求得

由于形函数对于参数坐标的导数是常数，所以我们可以发现，

上边 a, b, c 分别为三角形三个顶点的坐标，然后，其中为三角形单元面积。三角形面积我们可以直接通过坐标计算：

而我们可以直接写出

对于小变形问题，我们可以非常简单的，直接把矩阵写出来：

由于一般线性单元也就采用单点积分，然后刚度矩阵可以直接写成：

这样就避免了繁琐的雅各比矩阵计算过程。

开不开心，快不快乐！不搞点花招子，怎么能写得比别人快呢？

来源：大狗子说数值模拟

我所常用的材料：Mohr-Coulomb塑性

与Mises塑性类似，Mohr-Coulomb（摩尔库伦）塑性也是一种描述材料非线性的行为塑性本构模型，其广泛应用于岩土工程、土木工程等领域。其与Mises的核心不同体现在以下两点：屈服函数不一样一般情况下塑性阶段采用非关联的流动法则（non-associative flow rule) 对于屈服函数方面，Mohr-Coulomb准则定义其中为剪切应力（计算中的变量），为粘聚力（材料参数，试验得到），为内摩擦角（材料参数，试验得到），为剪切面的法向应力（计算中的变量）那么其实Mohr-Coulomb原则下其实是与应力Mohr圆相切与这条直线相切的时候，屈服就会发生，因此屈服函数就可以用主应力进行定义定义为将等式两边同乘上，并将上述与的表达式代入，可得：最后可得到用主应力表示的屈服函数：说明还处于弹性阶段，而当证明材料已经进入了塑性阶段。由于上述定义，就导致Mohr-Coulomb的去屈服面相比Mises并不是光滑的，而是有诸多角点，这个在一定程度上会造成求解困难，需要用一些技巧，不过先按下不表，后续详述。连着数值求解的过程一起说。另外对于Mohr-Coulomb大家经常还会联想到的一个就是Coulomb摩擦，其实本质上理论是一致的，如果去掉内聚力，大家就会发现跟库伦摩擦是一样的，所以接触中当处理摩擦的时候，跟Mohr-Coulomb本构模型会有一些类似的地方。本质上Mohr-Coulomb其实就是一种摩擦模型，大家可以想象为土体颗粒正应力与切应力的关系来源：大狗子说数值模拟