有限元法是力学原理，经过数学处理，变成矩阵形式，进而方便编程，让计算机求解！

前作回顾  

    前作《有限元法求解力学问题的基本原理！兄弟们可以浅浅了解一下！》展示了最简单的单自由度杆单元的刚度方程推导过程。

    实际仿真软件使用的单元更复杂，今天笔者再展示一个稍微复杂的一阶三角形单元的刚度方程的推导过程。

    目的只是让读者感受有限元计算的原理。至于更复杂的单元，计算量太大，就不再展示了。其实一般读者理解基本原理即可。

平面一阶三角形单元

    三个节点，每个节点有两个自由度：

 

数学推导

    先假设单元内各位置的位移符合如下表达式，称为位移函数或位移模式。注意这是假设：

 

    三个节点的位移和坐标的关系式：

 

    通过一系列的数学技巧，可以获得如下表达式：

 

 

    其中，N称为位移形函数或位移插值函数：

 

 

    总结：以上过程属于纯数学，把位移函数写成位移形函数与节点位移的形式。不涉及力学。

引入力学知识

    引入几何方程：

 

 

 

 

    引入物理方程：

 

 

    引入最小势能原理，经过一些列数学推导：

 

 

总结