我所常用的材料：Mohr-Coulomb塑性

之前介绍过非线性分析，包括材料、几何与接触非线性，有限元基础知识：非线性分析几何非线性：应变张量今天就几何非线性着重说一下，对于几何非线性分析有两种基本描述方法，Total Lagrange（TL）和Updated Lagrange（UL）方法是两种主要拉格朗日框架。它们的核心区别在于参考构型的选择，这直接影响了应变、应力度量和平衡方程的数学形式。参考构型用“人话”来说就是你的变形、应变是基于哪个形状定义的？是初始时刻的呢？还是 时刻的呢? 以下从理论公式和实际案例两方面详细说明其差异：参考构型的定义 • Total Lagrange（TL）方法始终以初始未变形构型（时间 ）为参考。所有物理量（如应变、应力）均映射到初始构型上描述。关键公式：• 应变度量：Green-Lagrange应变张量 其中 为位移， 为初始坐标, 后续大写 普遍表示未变形的形体 位置坐标，也就是对应于 时刻。• 应力度量：第二类Piola-Kirchhoff应力张量 ，与Green应变共轭。• Updated Lagrange（UL）方法以上一增量步的变形后构型（时间 ）为参考。物理量在每个增量步更新到最新构型。关键公式：• 应变度量：Almansi应变张量（或增量形式的对数应变） 其中 为增量位移， 为当前坐标，所以这里可以看到与上述UL中应变表达的不同，首先是基于增量位移，其次参考构型是变化的是上一步变形后的构型。 • 应力度量：Cauchy应力张量 \sigma ，直接描述当前应力状态。 平衡方程的弱形式 • TL方法的平衡方程： 积分域为初始体积 ，需处理几何非线性项（如位移二次导数）。• UL方法的平衡方程： 积分域为当前体积 ，几何非线性通过构型更新隐式处理。应力更新算法 • TL方法：应力通过材料本构模型直接更新为第二类Piola-Kirchhoff应力： 其中 是弹性张量。• UL方法：先计算Cauchy应力增量，再通过旋转张量更新： 为旋转张量， 为Almansi应变增量。收敛性与计算效率很多教材与论文都会探讨这两者的收敛性是效率的，然而事实上是这东西跟谁编程，怎么写代码关系非常大。我只能说天下没有免费的午餐，你得到一些东西的同时总会失去一些东西，常规上来说可以做如下总结• TL方法：因初始构型固定，Newton-Raphson迭代易因大旋转步发散，如果对于变形没有那么大，没有接触的材料非线性+结合非线性是比较适合的• UL方法：构型逐步更新，Jacobian矩阵条件数更低，迭代更稳定，又由于每步都更新构型，对于接触分析比较适合两种方法本质是同一物理规律的不同数学描述：TL更适合材料非线性主导问题(y由于不用更新构型)，UL更擅长几何非线性与接触耦合场景（因为接触你反正无论如何都得更新构型，虽然正常教科书上绝对不会说是这个理由）。实际应用中（如Abaqus/ANSYS）常混合使用，例如UL处理接触边界，TL处理材料本构。以下是一个基本的TL的代码流程，大家可以以此作为参考： 来源：大狗子说数值模拟