Abaqus 中的超弹性材料 – 它们是什么？它们如何工作？
Abaqus 允许我们使用多种不同类型的稳健材料模型进行建模，具体取决于实际的物理特性。在本文中，我们将重点讨论超弹性材料，这种材料通常用于橡胶聚合物、生物材料和固体推进剂。本文旨在概述超弹性材料，并介绍如何对其进行建模和模型校准。
超弹性简介
自然界中存在各种类型的材料，它们在承受载荷时会表现出不同的机械行为。例如，钢、铝和铜等延展性金属在屈服前表现出线性弹性行为，然后在断裂前经历相当大的塑性（不可恢复）变形。陶瓷、玻璃和石墨等脆性材料在断裂前经历线性弹性变形，几乎没有塑性变形。并非所有材料都表现出线性弹性。事实上，有一类材料在施加载荷后，在应变超过 100% 时会发生巨大的弹性变形，并且在失效时没有塑性变形。这些材料被归类为超弹性材料。超弹性材料的应力-应变响应是高度非线性的，并且单调增加直至失效，如下图所示。
超弹性材料模型用于捕捉橡胶、填充弹性体、生物组织、固体推进剂等材料的弹性大应变行为。刚度随着样品的变形而变化，并且这些材料在弹性状态下储存的内部能量在卸载时完全恢复。
超弹性材料的压缩性
大多数超弹性材料（例如橡胶和生物组织）几乎或完全不可压缩。但其他材料（例如海绵和泡沫）是可压缩的，需要一类特殊的超弹性材料模型（例如 Ogden 泡沫）来捕捉其变形行为。不可压缩性项根据材料的初始体积模量 () 定义如下：
当 d 值减小时，材料趋于不可压缩。它没有范围，通常为正值。对于非约束材料，假设其具有不可压缩行为通常就足够了，但当材料受到约束时，体积行为起着至关重要的作用。
应变能势
当试样承受恒定应变时，材料中储存的应变能（等于应力-应变曲线下的面积）保持不变。因此，超弹性材料是以应变能势为模型的。
能量势 (Ψ) 定义为材料中应变张量 (ε) 的函数，如下所示：
Ψ = f (e)
应变能势可分为偏应变能和体积应变：
Ψ = Ψdev + Ψvol
材料的偏量行为取决于变形模式，即单轴拉伸、单轴压缩和剪切。Abaqus 中提供了多种应变能势来模拟超弹性材料，这些应变能势可分为物理模型和现象学模型。物理模型（例如 Arruda-Boyce 和 Van der Waals）考虑材料的微观结构来评估其响应。简单的现象学模型（例如 Neo-Hookean 和 Yeoh）效果良好，可以基于连续介质力学评估材料响应。下表显示了不同超弹性模型及其材料参数的应变能势。
在上述应变能势中，材料常数为“D”的分量表示体积项，Jel 表示弹性体积比。偏差分量可使用主伸长率（λ1、λ2、λ3）或应变不变量（ɪ1、ɪ2、ɪ3）计算。主伸长率是材料在主方向上的当前长度与原始长度之比。在 Ogden 模型和多项式模型中，N 表示函数的阶数。模型的非线性和材料常数的数量随函数阶数的增加而增加。
实验超弹性数据
需要实验数据来根据应变能势计算材料常数。为了与实验数据获得良好的相关性，我们需要考虑所有三种变形模式——拉伸、压缩和剪切。对于遵循胡克定律的金属，我们可以仅使用拉伸试验数据来准确预测材料的偏变形行为。可以根据金属的拉伸数据计算出独特的压缩和剪切响应。但是，对于橡胶和弹性体等软材料，它们在三种变形模式下都表现出非线性响应。因此，这三种模式下的刚度各不相同，仅使用拉伸试验数据无法计算出唯一的解。因此，我们需要均匀的单轴拉伸、压缩和简单剪切试验数据来捕捉超弹性材料的偏变形行为。此外，我们还需要体积试验数据来确定材料的体积响应。在不可压缩材料假设下，可以忽略体积响应。
应变能函数关于应变不变量的导数用于建立不可压缩材料的应力-应变关系。以主拉伸率 (λ1 , λ2 , λ3) 表示的变形梯度表示为：
主拉伸量（λi）与主公称应变（ϵi）的关系如下：
下图显示了 Abaqus 中用于校准超弹性材料模型的可接受实验测试数据以及每个测试中的主拉伸值。通过这些主拉伸值，可以计算出偏应变不变量和名义应变。
利用实验数据校准 Abaqus 材料常数
选择应变能势函数后，我们需要通过求解优化问题来计算材料系数。幸运的是，Abaqus 提供了一个非常好的工具，它直接内置于 Abaqus CAE 中。优化是通过最小化实验数据 (sE) 和模型预测数据 (sM) 之间的相对累积误差来实现的。这种方法最小化的是相对误差而不是绝对误差，以便在较低应变下获得更好的拟合效果。
相对最小二乘误差函数如下：
根据应变能势函数的性质和材料常数的数量，可以采用线性或非线性回归方法进行最小化。例如，对于应变能势与材料常数呈线性关系的多项式模型，可以使用线性回归。对于非线性模型，例如 Ogden 和 Van der Waals，则需要使用非线性回归来校准材料常数。误差函数的最小化值称为残差，用于确定不同材料模型之间的拟合优度。
最后的想法
Abaqus 提供了多种材料模型来捕捉超弹性材料（例如橡胶、弹性体和软组织）的非线性弹性行为。希望本文能帮助您对不同类型的应变能势、校准材料系数所需的测试数据以及校准过程提供一些基本的了解。
