综述 | 数据驱动的机械故障诊断：全面综述（上）

本期给大家推荐一篇SCI论文基于年龄和状态依赖的跳变扩散过程的退化系统的剩余使用寿命预测。剩余寿命（Remaining Useful Life, RUL）的预测在预测和健康管理（Prognostics and Health Management, PHM）领域具有重要意义，可以提供有关系统的寿命信息。有效估计RUL的基础是为系统构建一个适用的退化模型。然而，现有的大多数退化模型只考虑了年龄依赖性问题，而忽略了状态依赖性。此外，系统运行环境的变化将导致退化状态跳变，这将影响退化路径和RUL估计的精度。文章提出了一种用于RUL估计的广义年龄状态依赖跳变扩散（Age-State Dependent Jump-Diffusion, ASDJD）模型。基于首达时间（First Hitting Time, FHT）推导了RUL分布的近似解析表达式。期望条件最大化（Expectation Conditional Maximization, ECM）和极大似然估计（Maximum Likelihood Estimate, MLE）用于估计模型的未知参数。通过模拟数据集和西安交通大学轴承数据集验证了所提出的模型。论文链接：通过点击本文左下角的阅读原文进行在线阅读及下载。论文基本信息论文题目： Remaining useful life prognostic for degrading systems with age- and state-dependent jump-diffusion processes论文期刊： ISA Transactions论文时间：2025年论文链接:https://doi.org/10.1016/j.isatra.2024.12.019作者：Bincheng Wen (a), Mingqing Xiao (a), Xilang Tang (b), Yawei Ge (c), Xin Zhao (a), Haizhen Zhu (a)机构：a: ATS Lab, Air Force Engineering University, 710038 Xi’an, China;b: Equipment Management and UAV Engineering College, Air Force Engineering University, 710038 Xi’an, China;c:Strategic Evaluation and Consultation Center, Academy of Military Sciences, 100000 Beijing, China.通讯作者邮箱:1255292204@qq.com 目录1 摘要 2 引言 3 ASDJD模型 4 基于跳变扩散模型的RUL估计 4.1 理论推导 4.2 ASDJD模型说明 4.3 在役单元的RUL预测 5 参数估计 6 案例研究 5.1 数值模拟 5.2 实验数据 7 讨论和结论 摘要剩余使用寿命（Remaining Useful Life, RUL）的预测在预测和健康管理（Prognostics and Health Management, PHM）领域具有重要意义，可以提供有关系统的寿命信息。有效估计RUL的基础是为系统构建一个适用的退化模型。然而，现有的大多数退化模型只考虑了年龄依赖性问题，而忽略了状态依赖性。此外，系统运行环境的变化将导致退化状态跳变，这将影响退化路径和RUL估计的精度。然而，现有的研究只考虑了一些影响因素，忽略了同时考虑年龄依赖、状态依赖和跳变。为了同时考虑年龄状态依赖（Age-State Dependent, ASD）和跳变，本文提出了一种用于RUL估计的广义年龄状态依赖跳变扩散（Age-State Dependent Jump-Diffusion, ASDJD）模型。基于首达时间（First Hitting Time, FHT）推导了RUL分布的近似解析表达式。期望条件最大化（Expectation Conditional Maximization, ECM）和极大似然估计（Maximum Likelihood Estimate, MLE）用于估计模型的未知参数。通过模拟数据集和西安交通大学轴承数据集验证了所提出的模型，结果表明在RUL估计过程中应考虑状态依赖性和跳变。关键词：剩余寿命，跳变扩散，年龄-状态相关，预测1 引言对于关键组件和系统，随着工艺的恶化，预测方法力求获得准确的剩余使用寿命估计。基于可靠的预测结果，管理者可以确定设备维修的最佳时间，并制定相关的维护计划，旨在提高运行可靠性，降低风险和成本。目前，已采用多种方法来估算剩余使用寿命。这些方法大致可以分为基于物理模型的方法、机器学习（Machine Learning, ML）技术以及统计数据分析方法[1]。基于物理模型的方法通过分析系统的失效原理并开发相应的数学模型来表征系统的退化。这种方法常用于金属材料中裂纹扩展和疲劳退化的研究。例如，Eshwar等人[2]提出了使用扩展有限元方法对疲劳裂纹扩展进行建模，并利用卡尔曼滤波框架进行在线寿命预测。Wang等人[3]选择了帕里斯定律作为机身面板裂纹扩展模型，并使用扩展卡尔曼滤波估计模型参数。Deng等人[4]基于动态工作条件下的Archard磨损模型，提出了一种用于预测滚珠丝杠寿命的集成数据驱动粒子滤波模型。然而，各种降解系统具有独特的降解机制，因此开发一个通用的降解模型具有挑战性。此外，由于系统退化原理的复杂性，很难获取准确的物理退化模型。与基于物理模型的方法不同，机器学习不需要考虑复杂的故障机制。目前，人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）[5]、相关向量机（Relevance Vector Machine, RVM）[6]、递归神经网络（Recurrent Neural Network, RNN）[7]、门控递归单元（Gated Recurrent Unit, GRU）[8]和长短期记忆（Long Short-Term Memory, LSTM）[9]等机器学习方法在PHM领域得到了广泛的应用。此外，为了应对预测不同操作环境的挑战，迁移学习在估计RUL领域的应用越来越普遍。赵等人[10]开发了一种基于Bi-LSTM和深度迁移学习的预测框架。Chen等人[11]提出了一种用于跨领域健康因素构建的迁移学习框架。ML的优点之一是它能够自动执行特征提取和融合。另一方面，多层网络增强了处理非线性映射关系的能力。然而，这种类型的模型，也称为黑盒模型，无法解释机器学习的结果。此外，数据的数量和质量对模型的训练有重大影响。在实际情况下，很难获得足够数量的退化数据。与上述方法相比，统计数据驱动方法不需要完全了解降解机制或大量历史降解数据，并且由于RUL估计的有效性而被广泛采用[12]。Si等人[13]系统地回顾了常见的统计数据驱动方法，包括基于回归的模型[14,15]、基于马尔可夫的模型[16,17]、维纳过程（Wiener Process, WP）[18,19]、伽玛过程[20,21]。在这些方法中，WP因其能够模拟非单调退化而得到了广泛的应用。Zhang等人[22]对基于WP的退化模型及其在PHM中的应用进行了深入分析。Cai等人[23]使用线性WP研究了海底采油树系统的退化机制。Si等人[24]介绍了一种基于时空转换的非线性随机退化模型。Yu等人[12]提出了一种考虑三种不确定性来源的非线性WP模型。Gao等人[25]认为，外部环境会影响系统失效阈值，并提出了可变失效阈值的维纳退化模型。Zhang等人[26]提出了一种混合非线性函数WP，用于拟合轴承退化数据中的温度变化曲线，采用RVM进行参数学习和更新。扩展了当前的非线性情况。Chen等人[27]将非线性WP与GRU相结合，并在预测过程中使用滤波算法来更新模型参数。尽管维纳退化模型在预测RUL方面表现出色，但它仍有两个问题需要进一步研究：（1）ASD退化过程，（2）随机跳变问题。许多工业部件的退化不仅与年龄有关，还与状态有关。例如，滚珠轴承[28]、疲劳裂纹[29]、金属合金[30]和气缸套[31]都表现出这种特性。现有文献[32]提出了一个新的表达式，该表达式假设增量与当前退化水平存在隐式依赖关系。通过著名的巴黎-埃尔多安定律来描述疲劳应力下应力强度因子范围与亚临界裂纹扩展之间的关系。同样，文献[29]提出了一种取决于裂纹状态和监测时间间隔的退化模型。因此，疲劳裂纹扩展是一个更典型的ASD退化过程。这些ASD退化现象在实践中经常遇到。然而，关于ASD的研究是有限的。Giorgio等人[30,31]提出了一个包含ASD的马尔可夫模型，该模型已应用于气缸套和金属合金的磨损过程。Orchard等人[33]考虑了退化过程中的状态依赖性，并构建了一个基于粒子滤波的预测框架来预测电池的RUL。同样，An等人[34]使用粒子滤波构建了一个状态相关的退化模型。Zhang等人[28]提出了一个包含ASD的扩散模型，用于估计轴承的RUL。Li等人[35,36]介绍了一种使用ASD扩散模型模拟退化过程的方法。该方法专门用于分析疲劳裂纹扩展和涡扇发动机。Pang等人[37]引入了ASD的退化模型，该模型考虑了单个单元之间的固有变异性。然而，在上述研究中，只有[28,35,37]与ASD扩散过程模型有关，没有发现更多相关研究。此外，马尔可夫模型[30,31]和扩散模型[28,35]都没有解释的跳变对RUL估计的影响。在工业应用中，随着系统退化的加速，系统的稳定性逐渐恶化，系统退化状态发生跳变的概率增加[38]。这种现象通常被定义为退化-冲击依赖性。例如，文献[38]区分了轴承磨损和MEMS系统退化的不同阶段。随着系统随运行时间的累积退化，其抗冲击性降低，冲击对系统的影响将在不同阶段发生变化。此外，系统运行环境的突然变化可能会导致其退化状态的跳变。Wen等人[39]、Kong等人[40]和Zhang等人[41]通过根据跳变的位置将系统划分为不同的阶段，考虑了具有跳变的多相退化模型。然而，由于跳变次数和位置的随机性，上述模型不能准确反映实际的退化过程，导致RUL估计结果与实际情况之间存在显著差异，特别是在开始阶段。Pang等人[42]提出了一种具有跳变的单相WP，其中该模型中的跳变被描述为复合非均匀泊松过程（Compound non-Homogeneous Poisson Process, NHPP）。Zhang等人[43]提出了单相跳变-扩散模型，得到了RUL分布的解析解。Sun等人[44]得出结论，跳变对退化增量、退化速率和退化过程有影响，他们使用非线性WP构建了跳变-退化模型。时变copula函数构建了不同阶段失效过程的依赖关系。Wang等人[38]将系统分为四种状态：正常、缓慢退化、快速退化和失效退化；系统对跳变的抵抗力因州而异。然而，多相和单相模型在考虑冲击时都忽略了状态依赖性对退化过程的影响。基于上述扩散过程分析退化模型表明，虽然已经对年龄-状态依赖的扩散模型和年龄依赖的冲击-扩散模型进行了研究，但它只考虑了影响系统退化过程的少数因素。年龄-状态依赖的扩散模型和年龄依赖的冲击扩散模型都没有同时考虑年龄依赖、状态依赖和跳变。ASD扩散模型中跳变的考虑仍然是一个很大程度上未被探索的领域。为了准确表示系统的退化状态，将随机跳变整合到ASD模型中至关重要。本文提出了一个综合考虑跳变的ASD扩散模型。使用ECM和MLE进行参数估计。本文的重要贡献总结如下：(1)同时考虑退化中的年龄相关、状态相关和跳变问题，并构建了ASDJD模型(2) 通过It'o公式和Larmpertier变换，得到了ASDJD模型寿命分布的解析解。此外，基于两步ECM和MLE对模型参数进行了估计和更新。(3)利用数值模拟和西安交通大学的轴承数据对模型进行了验证。实验结果证明了ASDJD模型的有效性。本文的其余部分结构如下：第2节介绍了。在第三节中，基于It'o公式和Larmperti变换，从理论上推导了RUL分布，并给出了一个例子。第4节介绍了一个使用ECM和MLE估计参数的框架。第5节包含一个数值模拟和一个真实案例，以验证所提出的模型。第6节总结了整篇文章。2 ASDJD模型 设 表示系统的退化过程，即具有跳跃的ASD扩散过程，变量 表示系统在时间 的状态值。系统的退化状态可以用以下形式表示： 其中 是漂移项， 是布朗随机积分，而 表示复合泊松过程（Composite Poisson Process, CPP）。 表示标准布朗运动， 是漂移系数函数，而 是扩散系数函数。 和 是系数函数的参数。 是NHPP，即强度为 的齐次泊松过程（Homogeneous Poisson Process, HPP）。 表示跳变幅度，是一个独立同分布的随机变量，有 。通常假设 。备注1.(1) 如果 ， 则表示为参考文献[42]中的年龄依赖跳变扩散模型；(2) 如果 , 则表示为参考文献[24]中的年龄依赖扩散模型；(3) 如果 ， 则表示为参考文献[45]中的状态依赖扩散模型。因此，所提出的模型扩展了现有方法。由于 是由布朗运动驱动的WP，其寿命被定义为FHT。 其中寿命的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）表示为 RUL的定义如下： 其中 为RUL，其PDF为 。3 基于跳变扩散模型的RUL估计3.1 理论推导为了获得ASDJD模型的RUL分布，有必要将退化模型(1)转换为包含常数扩散系数的退化模型。因此，采用了Larmperti变换[47]和Ito公式[28,46]，其中前者用于将随机过程 转换为随机过程 。本文定义Larmperti变换如下： 为了进行推导的下一步，首先给出Ito公式中的引理1。引理1.（[48]）:考虑随机过程 ，它代表一个具有跳跃的ASD扩散过程： 然后，对于任意 函数 ，过程 可以表示如下： 在本文中， 被定义为(4)。我们结合(1)、(4)和引理1。经过许多数学操作，(1)被转换为一个常数扩散系数。其中CPP 和漂移系数函数 由引理1获得。 其中， 描述了第 次冲击时刻退化状态的左极限，而 是拉姆佩蒂变换后退化状态的值。显然， 是连续的。根据定积分的第一中值定理， 可以简化为： 备注2. 通过利用引理1和Larmperti变换，广义ASDJD模型(1)可以等价地转换为一个具有常数扩散系数的随机过程(7)。在不牺牲一般性的前提下，接下来的部分将集中讨论具有常数扩散系数的ASDJD模型，其定义如下： ASD模型（11）中跳变的存在性给RUL的解析解带来了挑战，首先提供引理2来解决这个问题。引理2.对于泊松过程，均值定义为 值得注意的是， 是泊松过程的参数。如果函数 等于零，则退化过程的跳变不存在。如果函数 为常数，泊松过程可以归类为HPP。如果 表示强度函数，则泊松过程可以归类为NHPP。为简化表达式，下文中将， 记作 。随机变量 服从高斯分布且相互独立同分布。泊松过程 的均值和方差均为 。因此，基于高斯过程（[42,43]）的条件概率过程（CPP），可近似替换为高斯过程。 表达式可表示为 其中 ， 。可将等式（11）所代表的模型的退化重新表述如下： 的寿命概率密度函数可以通过一定的数学表达式进行估算，如[24,35]的研究结果所示。 其中 有 且 和 可以表示为： 在实际应用中，给定时间点 处的退化条件可表示为 。RUL的失效分布函数（FDF）被定义为退化过程首次超过预定阈值的时刻。时间点 处的退化过程 可描述为： 类似地，RUL的PDF可以用数学方式表示为： 其中， 有 3.2 ASDJD模型说明在本文中，ASDJD模型被表示为M1，其中 , 。根据3.1的结果，我们可以推导出相应的变换结果。当系统起始时刻为0， 时，可以得到 ， ， ， ， 的解析表达式。基于（15），可以计算出寿命概率密度函数。 其中， 和 服从高斯分布。根据全概率定律，可以得到寿命的概率分布 。为了避免计算过程中的积分，这里首先引入以下公式。 当 且 根据（22），寿命PDF可以基于（21）得出。 其中， 需要注意的是，（23）式中仍包含期望值。由于其计算过程较为复杂，已无法给出解析表达式。不过，（23）式仅包含单变量积分，因此可以使用Matlab进行近似计算。 当 ，表示系统的退化状态为 。 时。可得到对应的函数 。RUL的概率密度函数也可用类似方法获得。 根据（22），可以得到以下表达式。 其中， 图1 所提出模型的流程图 4 参数估计要实现寿命和剩余使用时间（RUL）的估计，确定所提模型的参数至关重要。我们将模型（14）的参数向量记为 。 是漂移系数的参数，其中 。 是泊松过程的参数。假设在时间区间 内存在 次跳跃事件，这些事件无法直接观测，可视为系统的隐变量。在此特定情况下，最大似然估计法不适用。由于隐变量 具有时变特性，传统的混合高斯分布期望最大化求解方法失效。因此采用隐马尔可夫模型（ECM）进行参数估计。根据泊松过程的定义，若满足条件 ，则可推导出以下公式： 备注3. 根据公式（28），当 足够小时，若满足条件 ，则概率 。因此，当满足条件时，我们可以定义概率为 ，其中参数值 由BIC或AIC [42,43]确定。对于退化系统，设 表示退化数据， 表示退化状态增量。 服从混合高斯分布，其均值为 ，方差为 。为简化计算，令 。时间增量表示为 ，其中 。通常传感器的工作频率较高且固定，因此实际采样间隔足够小以保持恒定。在后续章节中， 。 表示隐变量 的权重。第一步： ECM参数估计E步： 我们需要计算完整似然的期望值，其表示为Q函数如下所示。 其中 表示对应的第 个参数向量。 是潜在变量。CM步骤： CM-1：固定 。令 ，并对其求最大值，即可得到如BoxI所示的 由于无法推导出 的解析解，因此我们采用粒子群优化技术来求解方程（32）。 CM-2: 固定 ，我们最大化 , 可以表示为： CM-3:固定 与CM-1类似， 的解析解无法推导，因此采用粒子群优化算法求解（34）。 两步法： 通过ECM方法，我们已获得参数 。现在只需确定参数 ，利用最大似然估计法来估计该参数。 其中 表示为： 通过以上讨论可知，利用ECM和MLE可以实现对所有未知参数的估计，为了便于理解，图2中总结了参数估计的步骤。 5 案例研究本节通过数值模拟和fXJTU-SY的实际案例两个实例，验证了所提出的模型的有效性。5.1 数值模拟本小节验证了参数估计和RUL估计模型的准确性。首先，基于离散化退化模型（37），我们使用欧拉近似生成D条退化路径[24,42]。 模拟模型的预设参数见表1。下面给出了泊松过程的强度函数 ： 表1 模拟的参数设置 需要说明的是，本文采用的模拟冲击模型仅为示例模型，并不能完全反映工业退化的全貌。实际应用中，必须根据具体退化特征和运行环境构建对应的冲击模型强度函数。我们基于初始设定参数推导出退化路径：将历史数据集（即指定起始点前的数据）称为训练集，起始点后的数据则称为测试集。如图3(a)所示为退化路径示意图，图3(b)展示了数据的增量退化过程。根据图3呈现的数据，跳变频率呈现出逐步上升的趋势。 为评估所提模型的效能，我们采用蒙特卡洛（MC）模拟生成了15,000条降解轨迹，并从中获取实际概率密度函数分布。本文提出的模型标记为M1。通过两种对比方法验证模型有效性：(1)无跳跃的ASD扩散模型称为M2 [28]；(2)与年龄相关的跳跃-扩散模型则标记为M3 [43]。根据第5节提出的ECM和MLE方法，我们成功获取了表2所列的ASDJD模型参数。初始参数通过训练数据学习获得，并在输入新测试数据时进行更新。从表2可以看出，退化参数能够通过ECM和MLE方法准确学习。表2 多个模型的参数估计结果图4展示了M1、M2和M3三种模型在不同初始时间点的RUL概率密度函数（PDF）结果。通过蒙特卡洛模拟获得的精确系统PDF表明，M1模型的RUL PDF与实际蒙特卡洛模拟结果高度吻合。实证研究表明，采用M1模型参数估算的解析PDF与蒙特卡洛方法得出的PDF具有极强的拟合度。值得注意的是，在 秒时，M2模型的估计误差明显大于M1和M3。这种误差值的差异揭示了状态跳跃对RUL估算的影响。随着设备老化时间增加，三种模型的估计误差均呈现下降趋势，但M1模型仍保持优于M2和M3的性能优势。需要特别说明的是，M2和M3的估算结果低于实际RUL值，这可能源于未考虑状态跳跃或状态依赖性的影响，从而导致系统维护延迟并增加制造成本。 5.2 实验数据示例验证中使用的模型的漂移和扩散系数函数如第3.2节所示，冲击的密度函数如（38）所示。由于模型函数已经过验证，所使用的退化数据应包含相应的退化特征，即指数退化，且冲击概率逐渐增加。5.2.1数据描述和评价指标本小节[49]采用的是XJTU-SY轴承退化数据集。该数据集包含15个滚动轴承样本，采样频率设定为25.6千赫兹（kHz），采样周期为一分钟。在评估剩余使用寿命（RUL）预测性能时，我们采用了三个关键指标：均方根误差（RMSE）、绝对误差（AE）以及累积相对精度（CRA）。 变量 代表RUL的真值，而 表示预测的RUL。 在[49]系统中，水平和垂直振动信号的最大振幅（MA）被用作系统退化特征，即每个采样点处采样振动信号的最大值。设定的退化特征失效阈值为20 g。采用轴承1-3和2-2来评估所提模型的有效性。完整信息详见表3。表3 XJTU-SY轴承数据集5.2.2.剩余寿命预测实验结果轴承退化增量如图5所示。显然，轴承1-3的增量变化趋势与仿真数据相似。预测的轴承1-3和轴承2-2的起始点分别为 秒和 秒。为更好地展示模型的应用效果，我们将在以下步骤中进行具体实施。模型流程如图1所示。首先，根据采集的振动信号，提取出模态分析（MA）作为退化数据 。由此可获得模态分析的增量参数 。 第二，通过所提出的参数估计方法，可获取1-3号轴承和2-2号轴承的模型参数。系统将利用历史数据及预测起始点前的数据来估算初始参数。随着新数据点的获取，参数将通过ECM和MLE方法进行更新。 第三，基于这些参数估计结果，我们能够预测设备剩余使用寿命（RUL）并计算其对应概率密度。 图6展示了轴承1-3和轴承2-2的RUL概率密度函数（PDF）。从图6(a)和(b)可以看出，随着退化数据的累积，RUL概率分布的标准差逐渐减小，数据点也变得更加集中。在轴承1-3和2-2中，M3的概率密度分布比M1更集中，这表明考虑状态依赖性可能会影响模型的不确定性。不过M1的预测精度仍优于M3，这一优势在图7和图8中均有体现。特别是对于轴承2-2，M1的表现明显优于M2和M3。这些结果表明，具有跳跃特性的年龄-状态依赖扩散模型能更好地拟合退化数据。通过对比M1、M2和M3可以看出，M1的泛化能力比M2和M3更强。对于轴承1-3，M1和M2的预测结果呈现相似趋势；但针对轴承2-2，M1的表现则显著优于M2和M3。 图7展示了RUL预测结果。黑色实线表示实际RUL值，蓝色阴影区域标示了误差的20%置信区间。在轴承1-3和轴承2-2工况下，M1和M3的预测表现优于M2，这表明考虑跳跃效应的模型能更好地拟合退化数据。对于轴承1-3工况，M1和M2的RUL估计值呈现相同趋势，但M1的预测精度更高。在轴承2-2工况中，M1的估计结果显著优于M3，这说明考虑状态依赖性能提升模型预测精度。由此可见，在轴承1-3和轴承2-2工况下，M1在多数情况下均优于M2和M3。为进一步验证结果的可靠性，我们采用均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（AE）对M1、M2和M3模型进行评估。如图8所示，M1模型的平均绝对误差明显优于M2和M3，这表明所提出的M1模型在资源利用率（RUL）估计方面表现更优。值得注意的是，M2模型在两个数据集中的估计误差均最为显著，反映出其估计结果存在较大的波动性。表4展示了各模型的RMSE值：M1、M2和M3在基准方向1-3上的RMSE分别为134.02、1226.22和206.40。通过对比可以发现，M1模型的RMSE值显著低于M2和M3，这说明M1模型不仅稳定性更强，且方差更小。图8 RUL预测的AE表4 不同模型的均方根误差图9为三个模型的CRA [12,35]，CRA是量化估计模型准确性的指标，CRA值越大，估计结果的精度越高。提出方法的结果表明，与另外两个模型相比，1-3号轴承和2-2号轴承的CRA值更高，这说明所提出的模型可以得到更精确的结果。图9 三种模型CRA的比较上述对比研究表明，所提出的方法能够显著提升剩余寿命（RUL）估计的准确性。实验结果表明，在建模退化过程时，必须充分考虑跳跃效应和状态依赖性的影响。但需注意的是，轴承2-2的预测精度低于轴承1-3。通过观察图5可以发现，轴承2-2的退化增量与轴承1-3存在偏差，这说明本文提出的冲击密度函数无法很好地拟合轴承2-2的特性。因此，轴承2-2的预测结果偏差明显大于轴承1-3。6 讨论和结论本文提出了一种具有随机跳跃特性的ASD扩散模型构建方法，旨在实现退化系统的剩余寿命（RUL）预测。现有模型（如文献[24,37,43]所述）可视为该方法的典型实例。通过引理1和Larmperti变换，我们将退化模型转化为具有恒定扩散系统的ASDJD模型，并采用NHPP分布描述时变随机跳跃特性。借助时空变换技术，我们获得了RUL概率密度函数（PDF）的解析表达式。未知参数估计采用两步法，结合ECM算法与最大似然估计（MLE）技术完成。为验证模型有效性，我们使用西安交通大学提供的仿真数据集和方位角数据进行对比分析。将本模型与未包含跳跃特性的ASD模型、年龄依赖型跳跃模型进行比较后发现，本模型能更精准地估算RUL。现有研究仍存在若干亟待深入探讨的局限性：(1)实际应用中，由于测量对象间的个体差异和系统性误差，数据变异性普遍存在。因此，如何将这种变异性纳入模型并推导解析解仍需进一步研究。(2)工业应用中的跳跃过程并非固定高斯随机变量，可能遵循时变高斯分布。这些特性将在后续研究中重点探讨。(3)系统退化过程并不总是符合指数漂移函数，冲击过程也不总遵循非负极点过程（NHPP）。如何提升模型的泛化能力，或根据数据退化特征自动选择适用的退化模型，仍是当前亟待攻克的全新难题。编辑：Tian校核：李正平、陈凯歌、赵栓栓、曹希铭、赵学功、白亮、任超、陈宇航、海洋该文资料搜集自网络，仅用作学术分享，不做商业用途，若侵权，后台联系小编进行删除来源：故障诊断与python学习