当你发现4x4或3x4矩阵，你会想到啥
在图形学、CAD和CAE软件的代码中，我们看代码的时候经常会看到4x4, 3x4的矩阵，熟悉这个领域的人，不看代码大概也知道这个矩阵是干啥的，这也是很多人所说的代码感觉，其实就是代码看的多了、理论看的多了很多东西大概干啥也就知道了。今天就大概说一说这个常见的4x4, 3x4的矩阵，总的来说4x4, 3x4的矩阵主要用于仿射变换，其核心作用是统一表示线性变换（旋转、缩放、切变）和平移变换的组合。以下具体说说其用法法：
一、4×3矩阵的核心作用：仿射变换的统一表示
4×4矩阵通过将3×3的线性变换矩阵与平移向量结合，支持平移、旋转、缩放、镜像、切变等操作的组合，也就是说你对一个坐标、一堆坐标、一个向量的操作通过这个3x4的矩阵基本都能做了。例如：
旋转：通过3×3旋转矩阵实现 （大家都熟悉吧，空间中3x3的旋转矩阵）。
平移：通过最后一列的平移分量（ tx, ty, tz）实现。缩放：通过3×3矩阵的对角线元素实现均匀或非均匀缩放。
这么写有个好处，当你想转换坐标的时候（因为坐标需要考虑参考系统的平移）， 那么就把需要转换的坐标，写成这样的形式(x, y, z, 1)然后通过上述3×4的矩阵与这个4×1向量的矩阵乘法，就可以得到变换后的坐标。
而当你想转换方向向量的时候，比如载荷方向啥的，平移量没有用，用(x, y, z, 0)表示方向向量，然后同理通过矩阵乘法，就可以得到变换后的方向向量。
二、不同坐标系下的转换方法
在图形学中，需要在视图界面将一个东西显示出来，那么大家可能就会想3D的东西是如何在一个2D屏幕上显示出来的呢？这就需要在不同坐标系（如局部坐标系、世界坐标系、视图坐标系）间转换，需通过矩阵乘法组合变换。以下是典型场景：
1. 局部坐标系 → 世界坐标系
变换矩阵： 。 应用：将物体从局部坐标变换到全局坐标系。
2. 世界坐标系 → 视图坐标系（摄像机视角）
变换矩阵： （摄像机坐标系到世界坐标系的逆变换）。 应用：将世界坐标变换到摄像机视角下的坐标。
3. 视图坐标系 → 裁剪坐标系（投影变换）
变换矩阵： （包含透视或正交投影）。 应用：将视图坐标映射到标准化设备坐标（NDC）。
三、代码示例（Python）
以下代码展示了如何通过4×4矩阵将点从局部坐标系变换到世界坐标系：
import numpy as np
# 定义局部坐标点（齐次坐标）
point_local = np.array([1, 0, 0, 1]) # 原点局部坐标
# 构建变换矩阵：绕Y轴旋转90度 + 平移(2, 3, 4)
theta = np.radians(90)
R = np.array([
[np.cos(theta), 0, np.sin(theta), 0],
[0, 1, 0, 0],
[-np.sin(theta), 0, np.cos(theta), 0],
[0, 0, 0, 1]
])
T = np.array([[1, 0, 0, 2], [0, 1, 0, 3], [0, 0, 1, 4], [0, 0, 0, 1]])
# 组合变换矩阵
M = T @ R
# 应用变换
point_world = M @ point_local
print("世界坐标系坐标:", point_world[:3]) # 输出: [2, 0, 4]
总的来说4x4, 3x4 (隐式处理)的矩阵形式提供了一种统一的矩阵变换方式，通过合理的设置一连串变换矩阵，可高效实现跨坐标系的几何变换，是图形学和CAE中的核心数学工具，一般来说成熟的代码或库有一大堆这样相关的应用函数，对此大家就算自己不写最好也知道，这样看代码的时候一看到就会有 “啊，原来是他啊！”这种感觉。
