试着讲透有限元基础理论

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我们回顾有限元方法的基础知识。任何有限元仿真的第一步都是使用有限元集合离散化结构的实际几何形状。每个有限元代表物理结构的一个离散部分。有限元由共享节点连接。节点和有限元的集合称为网格。每单位长度、面积或网格中的单元数称为网格密度。在应力分析中，节点的位移是Abaqus计算的基本变量。一旦知道节点位移，就可以轻松确定每个有限元中的应力和应变。

使用隐式方法获取节点位移

一个简单的桁架示例，一端受约束，另一端加载，如图所示

图1-1桁架问题

分析的目的是找出桁架自由端的位移、桁架中的应力和桁架约束端的反作用力。在这种情况下，图中所示的杆将使用两个桁架单元进行建模。在Abaqus桁架中，构件只能承受轴向载荷。离散化模型以及节点和元素标签如图1-2所示。

图1- 2桁架问题的离散化模型

模型中每个节点的自由体图如图1-3所示。通常，每个节点将承载施加到模型的外部载荷P 和内部载荷 I, 这是由附加到该节点的单元中的应力引起的。要使模型处于静态平衡状态，作用在每个节点上的净力必须为零；即，每个节点的内部和外部负载必须相互平衡。对于节点a, 该平衡方程可以按如下方式获得。

图1-3每个节点的自由体图假设杆的长度变化很小，则单元1中的应变由下式给出

其中u 和 u⁶ 分别是节点a 和 b 处的位移，L 是元素的原始长度。假设材料是有弹性的，杆中的应力由应变乘以杨氏模量E作用在端节点上的轴向力等于杆中的应力乘以其横截面积A。因此，得到了内力、材料属性和位移之间的关系：

因此，节点a 处的平衡可以写为

节点b处的平衡必须考虑在该节点上连接的两个元素的内力。来自元素1的内力现在作用于相反的方向，因此变为负。得到的方程为

对于节点 c, 平衡方程为

对于隐式方法，需要同时求解平衡方程以获得所有节点的位移。这一要求最好通过矩阵技术来实现；因此，将内部和外部力贡献写为矩阵。如果两个元素的性质和维度相同，则平衡方程可以简化如下：

通常，元素刚度 (EA/L 项)可能因元素而异；因此，将图元刚度写为K₁ 模型中K₂ 的两个图元。我们有兴趣获得平衡方程的解，其中外部施加的力P 与内部产生的力I处于平衡状态。当参考收敛性和非线性讨论这个方程时，我们将其写为 {P}-{I}=0. 因此，对于完整的双元素、三节点结构，我们修改符号并将平衡方程重写为

值：u⁶、u 和 Pa(u 在问题中指定为0.0)。一旦知道位移，我们就可以回过头来使用它们来计算桁架单元中的应力。隐式有限元方法要求在每个解增量结束时求解方程组。与隐式方法相比，显式方法(例如Abaqus/Explicit 中使用的方法)不需要求解联立方程组或计算全局刚度矩阵。相反，该解决方案在运动学上从一个增量推进到下一个增量。

应力波传播图解

考虑应力波沿用三个单元建模的杆的传播，如图所示。我们将研究杆的状态，因为我们随着时间的推移而增加。图1- 4具有集中载荷的杆的初始配置， P 在自由端。

在第一次增量中，节点1具有加速度，ü1作为集中力P 的结果，施加到它身上。加速度使节点1具有速度，u₁ 而速度又会导致单元1中的应变率el1 。单元1中的应变增量是通过对应变△ εel₁1速率在增量 1的时间进行积分而获得的。总应变是Ee11初始应变和应变增量之E0和。在这种情况下，初始应变为零。计算单元应变后，通过应用材料本构模型获得单元应力σel1。对于线弹性材料，应力只是弹性模量乘以总应变。此过程如图 1-5所示。节点2和3不会以第一个增量移动，因为没有对它们施加任何力。