Mesh2D : 非结构化网格使用密度函数进行自适应加密
本期内容向大家介绍非结构网格划分时很重要的概念—网格密度函数。
主要内容包括：
网格密度函数的重要性 Mesh2D 项目中如何定义网格密度函数 网格密度函数的理解（个人看法） 实际案例
重要性
无论是 2D 项目还是 3D 项目，网格密度控制都是至关重要的一个环节。现实工程中，一个较为复杂的模型不可能整体网格都是非常精细的，这样会极大地浪费计算资源并增加计算负担。因此，对感兴趣区域进行局部网格加密，既保证了仿真结果的准确性，也能极大提升计算效率。这也是每一位 CAE 工程师在网格划分阶段需要关注的重点。
在学习一些优秀的开源非结构网格划分程序时，我们会发现网格密度函数的思想被广泛采用。比如：
DistMesh：基于距离函数和密度函数的自适应三角网格生成工具，可以通过自定义密度函数在特定区域加密网格 Gmsh：功能强大的三维有限元网格生成器，支持通过背景场（Background Field）定义空间变密度，灵活地控制网格的局部细化 Triangle：著名的二维三角网格生成器，通过区域密度约束函数对网格进行加密，常用于有限元和计算流体力学仿真 TetGen：三维四面体网格生成工具，支持通过点密度函数控制局部网格大小，常用于医学建模和工程仿真 Netgen：支持复杂几何体的三维网格剖分，可通过“网格大小函数”自适应细化特定区域
这些程序大多支持用户自定义密度函数或者背景场，从而让用户可以在物理特征复杂、几何细节丰富的区域生成更精细的网格，而在无关紧要的区域保持较粗的网格分布，实现仿真精度与效率的平衡。
Mesh2D 中的网格密度函数
Mesh2D支持任意用户自定义 mesh-size 函数 hfun，从而实现局部加密、梯度过渡、物理场驱动等复杂 mesh-size 分布控制。
可以看到下面的网格分布图，矩形板内部有一个圆孔区域，围绕圆孔周围进行局部加密网格单元，加密的方式是我们自定义的“密度场”。
基础设置
定义几何区域
node = [
-1, -1; +3, -1;
+3, +1; -1, +1
];
edge = [
1, 2; 2, 3; 3, 4; 4, 1
];
N_circ = 64;
theta = linspace(0, 2*pi, N_circ+1)'; theta(end) = [];
xcir = 0.20 * cos(theta);
ycir = 0.20 * sin(theta);
ncir = [xcir, ycir];
ecir = [(1:N_circ)', [2:N_circ,1]'];
ecir = ecir + size(node,1);
node = [node; ncir];
edge = [edge; ecir];
自定义网格密度函数
hfun = @hfun8;
其中hfun8：
function hfun = hfun8(xy)
% xy: N x 2
% 返回每个点的 mesh-size（可自由编写各类物理/几何控制）
hmax = 0.05; % 最粗
hmin = 0.01; % 最密
xmid = 0.0; % 加密中心
ymid = 0.0;
% 指数型衰减：离圆心越近，越密
hcir = exp( -0.5*(xy(:,1)-xmid).^2 - 2.0*(xy(:,2)-ymid).^2 );
hfun = hmax - (hmax-hmin)*hcir;
end
网格优化
[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge, [], [], hfun);
[vert, etri, tria, tnum] = smooth2(vert, etri, tria, tnum);
可视化
figure;
patch('faces',tria(:,1:3),'vertices',vert, ...
'facecolor','w','edgecolor',[.2,.2,.2],'facealpha',0.96);
hold on; axis image off;
patch('faces',edge(:,1:2),'vertices',node, ...
'edgecolor',[.1,.1,.1],'linewidth',1.2);
title('自定义 mesh-size 函数分布下的 mesh2d 网格');
% 显示 mesh-size field
figure;
patch('faces',tria(:,1:3),'vertices',vert, ...
'facevertexcdata',hfun(vert), ...
'facecolor','interp','edgecolor','none');
hold on; axis image off;
title('自定义 mesh-size field 可视化');
colorbar;
网格密度函数（个人理解）
几何区域内每个点的网格尺寸，称为mesh-size field，现设计一个函数：
其中 是几何域， 在每个点给出“希望的三角形边长”。mesh2d 可以自动在空间中布点，使得绝大多数生成的三角形的边长大约为 的数值。
可以理解为非均匀网格布点的密度控制函数，控制着每一小块区域内的 mesh 点间距。小的 ：网格更密，节点更多，单元更小；大的 ：网格更稀疏，节点更少，单元更大。
接下来以几个直观的例子，来感受hfun。
实际案例
分段多区
比如想让 区域单元尺寸小一些， 区域单元尺寸大一些。我们可以定义：
function h = hfun8(xy)
h = 0.1*ones(size(xy,1),1);
h(xy(:,2) > 0) = 0.02;
end
网格划分效果：
中心加密，远区变粗
也就是本次 demo 的加密策略：
hmax=0.05：远离中心时的最大单元边长（网格最粗）hmin=0.01：在中心(x0,y0)处 mesh-size 最小（网格最密）指数衰减的两个系数 和 控制加密带的“椭圆形状”和衰减速度， 方向加密区更窄更快网格更粗， 方向更宽
可以绘制密度函数：
分段阶梯型（区内密、区外粗）
中心圆内均匀细密，外部突然变粗 mesh2d 会自动在孔边界附近加一圈“额外的密集网格，曲线边界附近 mesh2d 总会自动细化，以更好地贴合几何边界/保持质量
function h = hfun_step(xy)
hmin = 0.01; hmax = 0.05;
x0 = 0; y0 = 0; r = 0.5;
r2 = (xy(:,1)-x0).^2 + (xy(:,2)-y0).^2;
h = hmax*ones(size(xy,1),1);
h(r2 < r^2) = hmin;
end
线性过渡型（径向线性变密）
其中， ， 为最大半径。
特点：中心最密，边缘线性变粗，过渡平滑、无突变。
function h = hfun_linear(xy)
hmin = 0.01; hmax = 0.05;
x0 = 0; y0 = 0; R = 1.0;
r = sqrt((xy(:,1)-x0).^2 + (xy(:,2)-y0).^2);
h = hmin + (hmax-hmin)*min(r/R, 1);
end
多圆加密型
特点：多个区域加密，其它区稀疏
function h = hfun_multi(xy)
hmin = 0.01; hmax = 0.06;
centers = [0 0; 0.7 0.5; -0.6 -0.3];
r0 = 0.32;
h = hmax*ones(size(xy,1),1);
for k = 1:size(centers,1)
r2 = (xy(:,1)-centers(k,1)).^2 + (xy(:,2)-centers(k,2)).^2;
h(r2 < r0^2) = hmin;
end
end
椭圆型/条带型加密（如裂缝或界面带状区）
特点：条带状区域密，其它区粗
function h = hfun_ellipse(xy)
hmin = 0.01; hmax = 0.05;
x0 = 0.5; y0 = 0;
a = 0.6; b = 0.18;
ell = ((xy(:,1)-x0)/a).^2 + ((xy(:,2)-y0)/b).^2;
h = hmax*ones(size(xy,1),1);
h(ell < 1) = hmin;
end
二维正弦型周期加密
function h = hfun_wave(xy)
hmin = 0.01; hmax = 0.05;
h = hmin + (hmax-hmin)*(1 + sin(2*pi*xy(:,1)).*cos(2*pi*xy(:,2)))/2;
end
随机裂纹附近加密
设纤维/裂纹由线段 构成，定义每个点到所有纤维的最近距离 。
其中 为最密带宽， 为加密影响宽，可以修改 和 来控制网格加密情况。
在 demo6（后续有相关推文介绍） 的网格划分位置修改为：
hfun = @(xy) hfun8(xy, fiber_pts, fiber_edges);
[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge, part, [], hfun);
[vert, etri, tria, tnum] = smooth2(vert, etri, tria, tnum);
其中hfun8为：
function h = hfun8(xy, fiber_pts, fiber_edges)
hmin = 0.01; % 裂纹最密
hmax = 0.08; % 背景最粗
w1 = 0.04; % 最密带宽度
w2 = 0.14; % 加密带宽
d = min_dist_to_fibers(xy, fiber_pts, fiber_edges);
h = hmax*ones(size(xy,1),1);
h(d < w2) = hmin + (hmax-hmin)*(d(d < w2) - w1)/(w2-w1);
h(d < w1) = hmin;
h(h < hmin) = hmin; % 限制下界
h(h > hmax) = hmax; % 限制上界
end
function d = min_dist_to_fibers(xy, fiber_pts, fiber_edges)
% xy: N x 2, fiber_pts: M x 2, fiber_edges: K x 2
N = size(xy,1); K = size(fiber_edges,1);
d = inf(N,1);
fori = 1:K
p1 = fiber_pts(fiber_edges(i,1),:);
p2 = fiber_pts(fiber_edges(i,2),:);
v = p2 - p1;
len2 = sum(v.^2);
w = bsxfun(@minus, xy, p1);
t = max(0, min(1, sum(w.*v,2)/len2));
proj = p1 + t.*v;
dist = sqrt(sum((xy - proj).^2,2));
d = min(d, dist);
end
end
随机裂纹裂尖区域局部加密
需要计算每个点与所有裂尖（端点）的距离，然后只在这些端点附近设置 mesh-size 取最小值，其余区域正常（用较大 mesh-size）。
其中:
表示点到所有裂尖端点的最近距离 为加密核心半径， 为加密带宽
假设裂纹/纤维端点集 合为tip_pts，维度 ：
function d = min_dist_to_tips(xy, tip_pts)
% xy: N x 2, tip_pts: K x 2
N = size(xy,1); K = size(tip_pts,1);
d = inf(N,1);
fori = 1:K
d = min(d, sqrt(sum((xy - tip_pts(i,:)).^2, 2)));
end
end
function h = hfun_tip(xy, tip_pts)
hmin = 0.01; % 裂尖最密
hmax = 0.08; % 其余区域最大
r1 = 0.06; % 最密核心半径
r2 = 0.15; % 加密带宽
d = min_dist_to_tips(xy, tip_pts);
h = hmax*ones(size(xy,1),1);
idx1 = (d < r1);
idx2 = (d >= r1) & (d < r2);
h(idx1) = hmin;
h(idx2) = hmin + (hmax-hmin)*(d(idx2)-r1)/(r2-r1);
end
在 demo6（后续有相关推文介绍）的网格划分位置修改为：
tip_pts = fiber_pts(fiber_edges(:), :); % 获取裂尖端点
hfun = @(xy) hfun8(xy, tip_pts);
[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge, part, [], hfun);
[vert, etri, tria, tnum] = smooth2(vert, etri, tria, tnum);
随机骨料模型局部加密
对于每个点 ：
所有细骨料圆边界的最近距离 所有中骨料圆边界的最近距离 所有粗骨料圆边界的最近距离
function h = hfun8(xy, agg_xy, agg_r, agg_type)
% xy: N x 2
% agg_xy: M x 2, agg_r: M x 1, agg_type: M x 1 (1=细,2=中,3=粗)
% 自定义各类 mesh-size
h_sand = 0.15;
h_fine = 0.015;
h_medium = 0.03;
h_coarse = 0.05;
% 各类加密带宽（距离骨料边界的带宽）
w_fine = 0.07;
w_medium = 0.09;
w_coarse = 0.11;
N = size(xy,1);
h = h_sand*ones(N,1); % 默认基体密度
% 针对细骨料
idx = (agg_type == 1);
if any(idx)
d_fine = min_dist_to_circles(xy, agg_xy(idx,:), agg_r(idx));
h(d_fine < w_fine) = h_fine;
end
% 针对中骨料
idx = (agg_type == 2);
if any(idx)
d_med = min_dist_to_circles(xy, agg_xy(idx,:), agg_r(idx));
mask = (d_med < w_medium) & (h > h_medium);
h(mask) = h_medium;
end
% 针对粗骨料
idx = (agg_type == 3);
if any(idx)
d_coarse = min_dist_to_circles(xy, agg_xy(idx,:), agg_r(idx));
mask = (d_coarse < w_coarse) & (h > h_coarse);
h(mask) = h_coarse;
end
end
function d = min_dist_to_circles(xy, centers, radii)
% 计算每个点到所有圆边界的最小距离（可正可负）
N = size(xy,1); K = size(centers,1);
d = inf(N,1);
fori = 1:K
dist_center = sqrt(sum((xy - centers(i,:)).^2, 2));
d = min(d, abs(dist_center - radii(i))); % 圆边界绝对距离
end
end
参数调节：
h_fine,h_medium,h_coarse,h_sand— 分别控制细/中/粗骨料/基体 mesh-sizew_fine，w_medium— 控制骨料附近“加密影响区”的宽度可以把加密带宽设宽点/密度差拉大/缩小，效果对比更明显。
随机骨料+钢纤维模型局部加密
将上面两个例子结合来做：
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首次发布时间：2025-08-09
最近编辑：4小时前
硕士
有限元爱好者
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