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CFD|数值方法Numerical Method

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Navier-Stokes（N-S）方程自1822年Navier提出黏性流动方程以来，200年的理论、实验与数值验证使N-S方程成为工业标准

N-S方程通过应力张量将牛顿流体的黏性力与速度梯度线性关联（牛顿黏性定律），而大多数空气、水、油等常见流体均符合此假设。对于非牛顿流体（如血液、牙膏），需修正本构关系（如幂律模型），但动量守恒的框架仍是N-S的推广形式

N-S方程基于连续介质假设，适用于克努森数（Kn）<0.01的宏观流动（即分子平均自由程远小于特征尺度）

N-S方程与质量守恒（连续性方程）、能量守恒方程联立后，形成封闭的偏微分方程组（PDE），无需额外物理定律即可描述速度、压力、温度场

上面的公式是N-S方程，转换为矢量形式后，可以用右边的简单表达式来表示，该方程的每一项代表了流体的各种特性，如压力粘性运动量的变化，如果在牛顿第二定律中代入牛顿流体的组成方程，就可以得到该方程，但在该公式中还有一个名为压力p的变量，因此需要质量守恒方程来解决该压力的变量，并使用这两个方程来执行流动分析。

mdias NFX 使用应用有限增量微积分(Finite Increment Calculus)，动量守恒和质量守恒方程可以写成如下

：动量守恒方程的残差

：质量守恒方程的残差

：特征长度

例如，对于不可压缩流，和可以描述如下

稳定Navier-Stokes方程（2.3.1）的边界条件定义如下

：表面附着力

：规定速度

将伽略金Galerkin方法应用于动量守恒和质量守恒方程，得到以下两个方程

：加权函数

将上述方程按部分进行积分，得出以下结果

为了详细解释稳定过程，假设不可压缩流并排除与边界条件对应的项，稳定的积分形式可以用以下两个方程表示

动量和质量守恒方程各自的固有时间参数定义如下

将动量守恒方程的剩余项（不包括对流项）定义为新变量简化了计算，因为从（2.3.11）的稳定项中消失了。

由于上述第二积分方程在平均意义上最小化了动量守恒方程的残差项，因此可以看出，引入变量有助于提高速度结果的准确性。在质量守恒方程的情况下，由于压力梯度项具有决定性的影响在稳定性方面，可以通过引入一个变量来简化积分方程，例如

可以看出，变量有助于提高与质量守恒方程一致的压力结果的准确性。通过将标准形状函数应用于（2.3.14）、（2.3.15）、（2.316）和（2.3.17），可以获得Navier-Stokes方程的数值解。

时间积分(Time integration scheme）

如果使用反向欧拉(Euler scheme)对应用有限增量微积分的动量方程（2.3.1）进行时间离散化，则可以表示如下：

在上述方程中，在不应用流体本构方程的情况下使用了偏应力，众所周知，它在时间上具有一阶精度。为了应用隐式分数步长法，将（2.3.18）分为两个方程。

同时，应用有限增量微积分（FIC）的质量守恒方程（2.3.2）可以在中表示如下

上述方程使用不可压缩流的连续性方程，表示压力和速度散度之间的关系。为了应用分数阶跃法，将（2.3.20）中的替换并简化，得到以下方程。

将伽略金方法(Galerkin method)应用于分裂动量方程（2.3.19）和（2.3.20）以及连续性方程（2.3.22），得到以下方程。

这里，为了简化表示，省略了与边界条件对应的积分项。将标准有限元法的形状函数应用于上述方程（2.3.15）和（2.3.17），并以矩阵形式表示，得到以下方程。

在隐式分数步长法中，从（2.3.26）到（2.3.30）的方程组转换如下，通过顺序求解，可以得到处的解

如上所述，隐式分数步长法不需要在每一步进行迭代计算，并且由动量方程分裂引起的速度结果中的数值误差通过（2.3.33）进行校正。为了完全消除数值误差，可以在每个时间步对以下方程组进行迭代计算，而无需进行速度校正过程。

i : 迭代次数

这种计算方法称为单片时间积分法monolithic time integration ，在这种方法中，迭代计算的收敛性由（2.3.37）的项保证。

特征长度计算

在分析具有陡峭梯度sharp gradients的平流扩散advection-diffusion问题时，应用有限增量微积分的有限元法被认为可以提供稳定和精确的解。因为在有限增量微积分中用作稳定变量的内在时间参数或特征长度是影响稳定性和数值结果的准确性，其计算方法也很重要。不存在适用于整个域流量的稳定变量的一般计算，大多数技术都可以被视为通过简化稳定方程进行计算的方法。特征长度通常分为速度方向和速度梯度方向的分量，以下是已知的特征长度的计算方法，可以为各种领域的流动提供稳定和准确的解。