《Mechanics of Solid Polymers》5.3.10 8链模型
5.3.10 8链模型
Arruda 和 Boyce 提出的八链（EC）模型是一种超弹性模型，旨在描述弹性体的变形行为。EC模型的基本假设是，链状高分子（也称为链分子）在平均情况下位于单位立方体的对角线上，如图 5.18 所示。链的单位长度由 表示，并由 和未变形链的长度决定 。它直接得出 。在该模型中，高分子被认为是n个长度为 ℓ 的刚性链相连。根据这个 FJC 模型，在无外力作用下端-到端的自由长度为ℓ 。有效形变链长为：
其中 、 和 是主变形伸长率，可以得到有效链伸长率：
图 5.18 位于单位立方体中的分子链模型
其中
，这表明，扭转形变伸长率实际上与第一不变量 I1∗ 有关。
，仅依赖于两个变形不变量
和
，及温度θ0 。 通过注意到有效链伸长与第一不变量 b* 的关系
= [I₁*(b*)/3]¹/²，可以得出单位参考体积下的Helmholtz可以写成 Ψ(λ̄*, J, θ₀) 的形式，或者用主伸长率 λ₁, λ₂, λ₃ 来表示为 Ψ(I₁*, J, θ₀)，其中 I₁* = I₁（b*）= tr(b*)。利用连续介质力学的公式 (5.41)，可以得到该情况下柯西应力张量 σ 的表达式 (5.98)。当不依赖于 I₂* 时，该表达式可以简化为：
的表达式：
单位参考体积下的亥姆霍兹自由能 (Ψ) 可以通过实验观察确定，该观察表明，对于弹性体，内能通常不是外加畸变伸长 (λ*) 的函数 [16]，即 e₀(J, θ₀)。因此，亥姆霍兹自由能的函数形式为：
注意，由于假设体积变化很小，因此忽略了 η₀(, J) 中对 J 的依赖性。对小体积变形的假设也使得柯西应力张量 σ 的压力分量和体积变形 J 之间的关系可以近似为线性：
其中 κ 为体积模量。这给出了内能 e₀(J) = κJ(J/2 - 1)。然后，可以根据公式 (5.99) 计算柯西应力，得到：
为了完全确定本构关系，现在只需要确定熵如何依赖于有效链伸长。根据链式法则，我们得到：
因此，为了最终确定本构方程，只需要确定单个高分子的熵如何依赖于其端到端距离就足够了。这个推导在 5.3.5 节中有详细讨论。
利用公式 (5.70)，公式 (5.102) 现在可以写成：
其中
是分子所能承受的最大（完全伸展）伸长。对于不可压缩单轴变形的特殊情况，方程 (5.104) 简化为：
对于由
定义的简单剪切，剪切应力由下式给出：
其中
材料的初始剪切模量
由下式给出：
将其代入 (5.104) 中，得到八链模型的柯西应力为：
在这个方程中，
是材料参数。对于八链模型的不可压缩版本，单轴、平面和等双轴变形的柯西应力由以下表达式给出：
可压缩的八链 (EC) 模型包含三个材料参数：剪切模量 μ、极限链伸长 λlock 和体积模量 κ。EC 模型不依赖于 I₂，并且其预测精度与 Gent 模型相似 [29]。通过与 Treloar [16] 的硫化天然橡胶数据进行比较，图 5.19 展示了 EC 模型预测弹性体行为的准确性。
该图显示，在这种情况下，EC 模型比 NH 模型和 Mooney-Rivlin 模型更准确，并且与 Yeoh 模型的准确性几乎相同。该图还显示，EC 模型略微低估了双轴响应。由于该模型是基于 I₁ 的，并且不包含任何对 I₂ 的依赖性，因此这是符合预期的。
对于不可压缩单轴加载，可以使用以下代码将 EC 材料模型在 Matlab 中实现：
Matlab Code:
function[stress] = mat_EC(time, strain, params)
%mat_EC Arruda-Boyce eight-Chain hyperelastic model
%Incompressible uniaxial loading
%This function is using true stress and strain
mu = params(1);
lambdaL=params(2);lambda = exp(strain);
lambdaChain = sqrt((lambda.^2 + 2./lambda) / 3);
stress = mu./lambdaChain.*invLangevin(lambdaChain./lambda) .* (lambda.^2 - 1./lambda);
end
function[res] = invLangevin(x)
%INVLANGEVIN Implementation of the inverse Langevin function
x(find(x>1)) = 1-eps;
x(find(x<-1)) = -1+eps;
res = zeros(size(x));
index = find(abs(x)<0.839);res(index)= 1.314*tan(1.59.*x(index)) + 0.911249.*x(index);
index = find(abs(x)>=0.839);
res(index) = 1./ (sign(x(index)) - x(index));end
对于不可压缩单向加载情况NH模型可以用以下Python代码实现：
Python Code:
defInvLangevin(x):
EPS = spacing(1)
iftype(x) == float: # x is a scalar
if x >= 1 - EPS: x = 1 - EPS
if x <= -1 + EPS: x = -1 + EPS
ifabs(x) < 0.839:
return1.31435 * tan(1.59*x) + 0.911249*x
# x is an array
=x[x > 1 - EPS] = 1 - EPS
x[x < -1 + EPS] = -1 + EPS
index = abs(x) < 0.839
res = zeros(size(x))
res[index] = 1.31435 * tan(1.59*x[index]) + 0.911249*x[index]
index = abs(x) >= 0.839
res[index] = 1.0 / (sign(x[index]) - x[index])
return res
#Python Code: 'EC_incompressible_uniaxial.py'
from pylab import *
from Polymer_Mechanics_Chap05 import *
defEightChain(trueStrain, params):
"""Arruda-Boyce eight-chain model.
Incompressible uniaxial loading. Returns true stress."""
mu = params[0]
lambdaL=params[1]lam = exp(trueStrain)
lamChain = sqrt((lam**2 + 2/lam)/3)
return mu/lamChain * invLangevin(lamChain/lambdaL)/invLangevin(1/lambdaL) * (lam**2 - 1/lam)
trueStrain = linspace(0, 0.8, 10)
trueStress = EightChain(trueStrain, [1.0, 3.0])
plot(trueStrain, trueStress, 'r-')
xlabel('True Strain')
ylabel('True Stress (MPa)')
grid('on')
show()
附加到"Polymer_Mechanics_Chap05.py"的代码：
defEC_3D(stretch, param):
"""八链模型。通过拉伸指定的3D加载。
param: [mu, lambdaL, kappa]。返回真实应力。"""
L1 = stretch[0]
L2 = stretch[1]
L3 = stretch[2]
F = array([[L1,0,0], [0,L2,0], [0,0,L3]])
J = det(F)
bstar = J**(-2.0/3.0) * dot(F, F.T)
lamChain = sqrt(trace(bstar)/3)
devbstar = bstar - trace(bstar)/3 * eye(3)
return param[0]/(J*lamChain) * invLangevin(lamChain/param[1]) / \
invLangevin(1/param[1]) * devbstar + param[2]*(J-1) * eye(3)Python代码："EC_compressible_uniaxial.py"
from pylab import *
from Polymer_Mechanics_Chap05 import *
trueStrain = linspace(0, 0.8, 100)
trueStress = uniaxial_stress(EC_3D, trueStrain, [1.0, 3.0, 100])
plot(trueStrain, trueStress, 'b-')
xlabel('True Strain')
ylabel('True Stress (MPa)')
grid('on')
show()图像由Python代码创建：
来源：ABAQUS仿真世界
