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力学概念 | P-Δ效应

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 效应是指水平力的作用使结构发生侧向位移时,竖向力的作用会使结构产生附加弯矩和附加侧移,从而使总弯矩和总侧移进一步增加的现象。

▲图1

如图1所示,杆长为  ,质点的质量为  ,考虑它为两个自由度。为方便起见,  方向的相对位移分别为  ,荷载分别为  ,刚度分别为  ,相应的阻尼为  。当结构发生较大水平位移后,竖向惯性力和竖向外荷载在基底产生的附加弯矩为

附加弯矩可用质点上一个能产生同样大小弯矩的等效水平力来替代,等效水平力为

式中,  为影响刚度。

考虑  效应的质点水平运动方程为

竖向运动方程为

将式(2)代人式(3),则有

从以上运动方程可以看出,竖向运动方程是独立的,因此可以在给定初始条件下求出  后,代人水平运动方程,联合相应的初始条件,便可求解水平位移  。一般来说,考虑  效应等于降低了结构的刚度,通常情况下这会使结构的动力响应增大。同时,应该注意到由于水平位移虽然随着水平外荷载的增加而增加,但它们之间并不是正比关系,因此,式(5)虽然形式上是线性的,但实质上它是一个非线性方程.

▲图2

考虑如图2所示的多自由度体系,按上述的计算等效侧向力的方法,可以导出多自由度体系等效侧向力向量为

式中,  为体系的侧向位移向量,  为体系的影响刚度矩阵。这样,多自由度体系的运动方程即可表示为

式(7)可知,考虑  效应时,对刚度矩阵进行了修正

 为结构原始刚度矩阵,也称弹性刚度矩阵;  为由轴向力引起的几何刚度矩阵。平面梁单元的原始刚度矩阵为

几何刚度矩阵为

当轴向力  为拉力时相当于在原始刚度矩阵的基础上增加几何刚度矩阵,结构整体刚度会变大;当轴向力为压力时则正好相反,所以在考虑重力  效应后结构刚度会变小。

超高层建筑由于所承受的风荷载、地震作用等水平荷载非常大,因而会产生较大的水平侧移。这种情况下,结构的  效应比较明显,在进行动力分析和抗震设计时都应该考虑到  效应的影响。

有关几何刚度矩阵参看

 

有限元 | 梁的弹性稳定分析(二)

来源:数值分析与有限元编程
非线性建筑
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首次发布时间:2025-07-18
最近编辑:4小时前
太白金星
本科 慢慢来
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