介质中的埋藏散射体问题--齐次 Green 函数和分层介质 Green 函数

Green函数是用于求解线性微分方程的工具，可以理解为点源激励下的响应函数。

在电磁学或声学中，Green函数常用于求解波动方程，比如标量波动方程的Green函数满足(∇² + k²)G(r, r') = -δ(r - r')。齐次介质中的k是常数；分层介质中k可能会随位置变化，比如在z方向分层，那么k=k(z)，这时候方程就变得复杂了。

齐次 Green 函数，对应均匀介质（如自由空间），介质参数（如波速、介电常数、密度等）在空间中处处相同。例如：真空中电磁波的传播、均匀流体中的声波传播。

齐次 Green 函数方程形式简单，通常能通过解析方法直接求解。

例如：标量波动方程的 Green 函数在三维均匀空间中为

 

即，自由空间格林函数。可利用对称性（如球对称性）简化计算。

齐次 Green 函数仅描述直接传播路径的场（直达波），无反射、透射效应。

场分布具有空间对称性（仅与源点和观测点的距离相关）。

 

齐次Green函数可能具有对称性，比如在均匀空间中，Green函数只依赖于源点和观察点之间的距离，即G(r, r') = G(|r - r'|)。而分层介质的Green函数由于介质的不均匀性，可能不再具有这种空间对称性，需要考虑层间的多次反射和透射，甚至可能涉及界面处的边界条件，比如在电动力学中，不同介电常数的分界面上电场和磁场的连续性条件。

 

分层介质 Green 函数，对应层状非均匀介质，介质参数在特定方向（如垂直方向）上分层变化。例如：地壳分层结构中的地震波传播、光学多层薄膜中的光波传播。

分层介质 Green 函数方程复杂，需结合分层边界条件和数值方法（如传输矩阵法、模式展开法）。

常用工具：Sommerfeld 积分、波数域分解、反射/透射系数分析。

例如：分层介质中的电磁场 Green 函数需通过分界面处的场连续性条件构造。

分层介质 Green 函数,包含多次反射波、透射波的叠加，如界面反射导致的驻波效应。

场分布不对称，可能呈现模式化特征（如波导中的导行模式）。

例如：分层介质中，源点和观测点位于不同层时，场需穿透界面并伴随衰减。

[1] O. Ozdemir and H. O. Bektas, "A modified LSM method for buried objects in a layered medium," 2015 IEEE Conference on Antenna Measurements & Applications (CAMA), Chiang Mai, Thailand, 2015, pp. 1-4, doi: 10.1109/CAMA.2015.7428188.

[2] Ö. Ozdemir and H. Haddar, "Preprocessing the Reciprocity Gap Sampling Method in Buried-Object Imaging Experiments," in IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters, vol. 7, no. 4, pp. 756-760, Oct. 2010, doi: 10.1109/LGRS.2010.2047003.