二次谐波（Second Harmonic Generation, SHG）

等离子体的电子密度（或等离子体频率）随时间变化时，会影响电磁波的传播，比如产生频率转换、非互易性等现象。这种特性在可调谐超材料、光子晶体、频率转换器等领域有应用潜力。目录 电磁波在任意随时间变化的介质中的传播 波动方程转化为Lommel型贝塞尔方程 参考资料 *As shown below👇*任意随时间变化的介质时间变化介质（如等离子体）的电磁特性随时间快速变化，可应用于非互易性器件、频率转换等前沿技术。 1950 年，Zadeh（模糊逻辑之父）首次提出时变系统的频率分析方法，奠定理论基础。1950-1960 年代，研究者尝试用时变天线突破传统天线的尺寸和带宽限制。例如：▶ 用铁氧体材料的非线性特性调制天线频率，但受限于材料响应速度。▶ 改用可切换电容组，实现更快的频率调制（类似现代收音机的电子调谐）。同时，等离子体物理领域开始研究时变介电常数对电磁波的影响，发现快速变化的等离子体可引发频率上转换（如将低频信号转为高频）。 1980-2022超材料与时变超表面通过动态调整超材料单元的结构（如机械移动、电压调控），实现电磁波的实时操控。▶ 例如：时变超表面可瞬间改变反射 / 透射特性，用于隐身或信号调制。 非互易器件传统器件（如环形器）依赖磁场实现单向传输，而时变系统通过时间对称性破缺，无需磁场即可实现非互易性（如光只能单向通过）。 频率转换与放大利用周期性时变电容 / 电感，实现信号的频率混合（如手机射频电路中的混频器）或参数放大（类似激光器的原理）。 半个多世纪以来，电磁 （EM） 波与时变介质的相互作用一直是理论分析的主题。 现有分析方法（如拉普拉斯变换、绝热近似）仅适用于特定条件（如快速或慢速变化的等离子体），缺乏普适性解析解。*波动方程转化为Lommel型贝塞尔方程电磁波在时变等离子体中的传播由以下方程描述 引入新变量 u=e −t/τ ，将时间 t 转换为 u 的域。利用链式法则对时间导数进行转换： 将二阶导数表达式和 wp^2 代入原始方程： 乘以t^2后得， 代入Lommel方程的解，并利用变量 u=e −t/τ ，最终得到电场表达式： 参考文献 [1] G. Ptitcyn, M. S. Mirmoosa, A. Sotoodehfar and S. A. Tretyakov, "A Tutorial on the Basics of Time-Varying Electromagnetic Systems and Circuits: Historic overview and basic concepts of time-modulation," in IEEE Antennas and Propagation Magazine, vol. 65, no. 4, pp. 10-20, Aug. 2023, doi: 10.1109/MAP.2023.3261601.[2] H. M. Bernety and M. A. Cappelli, "A Closed-Form Solution for Electromagnetic Wave Propagation in Spatially Unbounded, Linear Time-Varying Plasmas," in IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, vol. 24, no. 5, pp. 1163-1167, May 2025, doi: 10.1109/LAWP.2025.3528860. 来源：微波工程仿真