接触基础知识：从二分到四叉树与八叉树
前面讲了很多具体的搜索方法，如有限元基础知识：AABB包围盒的计算有限元基础知识：如何计算OBB包围盒有限元基础知识：接触检测中的分离轴定理SAT也有说了最为基础的空间分割算法有限元基础知识：接触计算中的包围盒子有限元基础知识：空间箱排序（bucketsorting）今天就来讲一下一种经典的空间分割方法（也随之带来一种数据结构），其实这种方法很简单，我们在1维的逻辑中有一种经典方法叫做二分（遇事不决便二分），那么在2D平面上就是今天要说的四叉树，而在3D空间中就是八叉树，可以理解为树，为空间的维度。二分法顾名思义，就是一种逐渐缩小范围的方法，每次将搜索范围除2，比如一个人让你猜他多大岁数，你大概看出来他在25-35之间，你就先猜一下30，他说大了，你再猜一下28，......,这样几波下来你很快就知道他多大了。四叉树就跟这个逻辑非常一致，之前已经讲过一个接触面和另一个接触面相交，可以先确定出来一个大的相交的AABB的boundingbox，然后在2D中就一个这样的盒子一划四，这么划分出去，直达某个终止条件，具体可以看如下的示意图一样的思想可以拓展到八叉树上，如下图所示，唯一的区别就是从平面到空间，从叉除四个节点到叉出八个节点大家在很多论文和书上会听到有人说“树结构”画上面类似的图，初看其实可能不明觉厉，其实nothingfancy。这个思想非常简单，那么他有啥好处呢，好处就在于可以更快速的定位，回想刚刚猜岁数的例子，猜的人也可以从25一路猜到35，而用二分的好处就是在于整个过程的时间复杂度是,而一个个查的复杂度是,这两者在数据量越大的时候效率差距会越明显。现在想象我们在2D中用最为天真的构造方法，将接触面的主面个单元面放到一个四叉树结构中，然后我们有个从节点（点对面接触搜索逻辑）需要进行接触索，那么时间复杂度是啥样的呢这里每一个从节点需要进行一次主面的定位，而定位主面的复杂度是。当然还有一些优化方法可以进一步提升，但不是今天要讨论的，后续可作为番外篇。今天就简单说了一下四叉树和八叉树，其实对于空间分割和接触检测的树状结构还有很多，也有自己不同的适用场景，比如k-dtree,BSP(二元空间分割)tree，BVH(boudingvolumehierarchy)tree。总的来说今天讲的是最简单的（当然不如直接画格子的空间箱排序简单），但也有诸多细节尤其是在FEM接触检测中，下次我来详细说说，然后再展开到其他树结构。最后我突然又想到一个好玩的事，如果各位朋友喜欢这一系列，全都看下来说不定会有意外的惊喜，比如爱打游戏的朋友，所谓的光追（RayTracing）底层呢也都事用的raycasting和这些空间分割树状结构啥的，然后游戏中对于接触检测不同与有限元一般称为碰撞检测（collisiondetection）。来源：大狗子说数值模拟
