塑性力学概论内容精要
第1讲 绪论
1.1概念
塑性力学是弹性力学的后续课程，弹性力学假定材料是完全弹性的，即材料变形时只有弹性这一种变形性质。实际上，材料变形性质多，比如有不可恢复的塑性，和时间有关的流变性。在塑性力学中，只考虑弹性和塑性这两种变形性质，不考虑时间的影响，比如蠕变、松弛等，加载速率也不影响变形性质，因此是静弹塑性力学。
弹性力学的目的是研究弹性体在外力作用下的内力和变形规律，由于完全弹性的假设，弹性体的承载力是无限的，事实上承载力是有限的，在一定荷载下会发生强度破坏的，或者会产生过大变形以致影响正常使用的，这都是工程上不能接受的破坏，因此，塑性力学的目的就是研究材料是如何发生强度破坏的，如何控制变形在安全使用范围以内。
今天以金属杆的拉压实验为例，介绍简单应力状态下的塑性力学概念，这些概念是可以推广到一般应力状态的。从简单应力状态入手，理解这些概念更容易些。
金属杆拉压实验中，应力应变曲线初始段是线性段，这就是弹性力学研究的那部分，线性段的终点是比例极限。
比例极限是线性应力应变关系的最大点，此后的变形虽是弹性的，但应力应变关系却是非线性的曲线，曲线段的终点是弹性极限，即是说材料之前的变形都是可以恢复的，之后的变形就是弹性和塑性混合的了，应力应变关系是曲线。
有些像低碳钢、铝合金等刚度较小的材料，在弹性极限以后，应力在很小范围内跳跃，但应变增大很多，这部分近乎水平的应力应变线，称为屈服阶段，对应的应力称为屈服应力。之后的变形就是和刚度较大材料如中碳钢、高强合金钢等材料的类似，进入了刚度较弹性阶段小的弹塑性变形阶段，直至应力应变曲线的峰值，峰值后的曲线在塑性力学中不研究，一是因为此时对应的变形过大，二是此时材料变形性质复杂。因此，塑性力学只研究应力应变曲线峰值前的变形性质。
刚才提到的比例极限、弹性极限和屈服应力，对应的应力差值不大，为研究方便不再区分，统一用屈服应力来表示。当应力不小于屈服应力时，要么有应力富余，要么有应变富余，总之，材料不会立刻破坏，塑性力学就是利用这部分富余来提高承载力的。
屈服应力之前，应力应变关系为线性；屈服应力之后的应力应变关系是非线性的，此时应变是弹性应变和塑性应变之和，如果完全卸载，恢复了的那部分应变就是弹性应变，残留下来的是塑性应变。注意，卸载过程中不产生新的塑性变形，因此应力应变线又是线性的了，除非反向再加载至弹性极限以后。
完全卸载后，再次拉伸此金属杆，其应力应变曲线和第一次的不同，不同就是屈服应力提高了，屈服应力提高到卸载前的最大应力，相同的是线性段斜率。这种通过产生塑性变形使屈服应力提高的现象称为应变强化或应变硬化。
金属杆第一次达到屈服时的应力称为初始屈服点，初始屈服点以后各点，称为后继屈服点，或者相继屈服点，也可以称为加载点。初始屈服点有拉和压两个点，这两点之间的范围称为初始弹性范围。自然，后继屈服点包含的最大范围称为后继弹性范围。若材料受力复杂，一点屈服时不再是两点之间表示弹性范围而是假想的应力/应变空间一个变化大小和中心的柱面体，因此用应力强度表示应力水平，而应力强度可以退化到简单应力状态。
初始屈服的条件又称为初始屈服函数，后继屈服的条件又称为后继屈服函数。屈服函数可以用应力表示，而应力和应变之间是有关系的，因此屈服函数也可以用应变表示。传统塑性力学通常用应力表示屈服函数，常用屈服函数有单剪应力、双剪应力和三剪应力等三种函数。后继屈服函数不仅是应力或应变的函数，也是塑性变形的函数，因此后继屈服函数或加载点是时时变化的，也是很复杂的。
金属杆先拉伸再压缩，和金属杆直接压缩，对比其压缩时的屈服应力，若二者不相同，称此现象为Bauschinger效应。也就是说，材料在一个方向的应变强化，会产生其它方向的应变弱化，这就是包氏效应。如果一个方向的应变强化使其它方向也强化了，称材料没有包氏效应。事实上，材料是有包氏效应的。考虑包氏效应的后继屈服条件，称为随动强化模型；不考虑包氏效应的后继屈服条件，称为等向强化模型。
在弹塑性变形阶段，一点的应力和应变不再是弹性阶段的一一对应关系，而是和变形过程有关，因此要追踪变形过程来确定应力应变关系，也就是说从弹性边缘开始，先判定加载还是卸载，再确定应力增量和应变增量，逐步累加才能得到最终的应力和应变。应力增量和应变增量之间的关系，称为增量型的应力应变关系。特殊情况下才能得到全量型的应力应变关系，这种关系可以理解为胡克定律在塑性阶段的推广。
塑性力学除了要求材料是连续的、均质的、各向同性的、小变形以外，还有以下三个假设：一是不考虑变形的时间效应，即不考虑流变性，也不考虑动力学性质。第二个假设是静水压力下材料是不屈服的，一般水平的静水压力使金属材料产生的体积应变是弹性的，因此金属材料屈服只和剪应力特征的应力不变值有关。第三个假设是金属材料的弹性和塑性是独立的，二者不耦合，这将使计算变得简单。还有这里的塑性是无限韧性的，不考虑断裂的变形性质。这三个假设对一般应力水平的金属材料而言是基本符合的，实验验证是成立的，而岩土材料的变形性质和金属是显著不同的，岩土材料的变形性质要复杂得多，如有流变性、压硬性、剪缩/胀性等。
从金属杆的拉伸实验，可以看到弹性模量不小于割线模量，割线模量不小于切线模量，这些模量都不小于0，称这种材料为稳定材料。或者说应力的单调变化会引起应变同号的单调变化，反之亦然，这就是稳定材料。稳定材料在简单加载时可以得到全量型的应力应变关系，即应力和应变是一一对应的，虽然这种对应关系不再是线性的。
当一点的应力经历一个微循环时，由于应力变化不大，产生的塑性应变也是微小的，在应力循环过程中，应力在应变上所做的余功是非正的。这就是Drucker公设。Drucker公设是增量型的本构关系的基础。
杜拉克公设是在应力空间讨论的，在应变空间讨论应力在应变上所做的功，就是Ильюшин（伊柳辛）公设了。在应变空间，应变经历一个微循环时，应力在应变上所做的功是非负的，这是伊柳辛公设。
金属杆产生塑性变形后，应力应变关系有多种，常见简化类型有五种：弹性理想塑性材料（又称理想弹塑性），弹性线性强化材料，理想刚塑性材料，刚性线性强化材料，幂次强化材料。本课程以理想弹塑性材料为主要研究对象，研究结构极限承载力时研究理想刚塑性材料（滑移线法和极值定理）。弹性阶段可以简化为弹性和刚性两种，当塑性变形很大时，可以忽略弹性变形时，就可以采用刚性的假设了，此时的变形全部是塑性的。
至此介绍了塑性力学常见的概念，这些概念推广到一般应力状态就是塑性力学研究的对象了。也就是说，塑性力学首先研究弹性的边界，接着判定是加载过程还是卸载过程，最后确定塑性的应力应变关系。
1.2 塑性力学简单例题
考虑塑性变形性质的一个简单力学例题就是三杆桁架受力了。假设这三杆材料相同，杆的横截面形状和尺寸相同。假设材料是弹性理想塑性的，或者是弹性线性强化的。分析结点受集中力作用时的三杆应力和节点位移。分析三杆应力是因为强度问题，分析结点位移是因为变形不能过大。
三杆桁架是一次超静定问题，不能根据受力平衡求出全部应力，但由于结点位移的约束，补充了一个应变之间的协调方程，由于应力和应变的物理关系，就可以求解全部应力了。因此，根据外力和应力之间的关系列出平衡方程，再列出应变和位移之间的几何方程，最后列出应力应变之间的物理方程。此问题解答就是唯一确定的了。
当结点受集中力作用时，三杆的应力是不同的，应力绝对值最大的杆首先进入屈服，此时对应的外力就是该结构的弹性极限荷载了，当荷载超过弹性极限荷载时，已屈服的杆并不能随意变形，它要受其它两杆弹性变形的约束，因为弹性变形的刚度较塑性的大。当三杆桁架结构由于材料屈服，此杆结构变为机构而不能继续承载，此时对应的外力就是此结构的塑性极限荷载了。得到了结构的塑性极限荷载，还要考虑卸载的强度问题，即卸载后不能出现反向屈服问题。此外还有结构的安定性问题。至此，分析结构的弹性极限、塑性极限和卸载，这就是弹塑性分析的全部过程了。
理想弹塑性材料的三杆桁架，考虑塑性时，承载力提高约40%，变形增大一倍。由此可以看出塑性分析可以有效地提高结构承载力而变形也在可控范围内。
如果材料是线性强化的，虽然没有结构强度失效的问题，但由于塑性的刚度小而引起的大变形也是工程上不能接受的，而考虑强化使问题分析过程变得复杂，对承载力提高意义却不大，此结论可以推广到其它结构，因此考虑塑性时最常用的是理想塑性模型。
当结点受水平力和垂直力同时作用，不同大小的荷载组合对应的弹性极限荷载是不同的，在荷载面上可以画出弹性范围。当有杆产生塑性变形时，虽完全卸载，却有残余应力和残余位移，此后再加载的弹性范围发生变化，即一个加载方向的强化会使其它方向的承载弱化，这是包氏效应导致的。
不同荷载的组合，产生的塑性极限荷载也是不同的，在荷载面上，极限荷载围成的曲线是结构的固有性质，和加载方式无关。找出结构的极限荷载曲线是塑性力学的目标。请注意，不同的加载方式，对应的结构内力不同，产生的位移也是不相同的。
上面介绍了三杆桁架的弹塑性分析。
另一个简单例子就是矩形梁的纯弯曲问题。矩形梁的纯弯曲，任何一个横截面的应力都是相同的，其中应力绝对值最大的是粱外缘，当弯矩达到弹性极限荷载时，梁外缘屈服，但此处并不能随意变形，因为中间依然是弹性的且满足平截面变形假设。但弯矩继续增大，中间部分相继进入屈服，极限状态就是中性轴的应力出现跳跃，由正屈服应力跳跃至负屈服应力，梁结构失效，此时的弯矩就是梁的塑性极限荷载。在塑性极限荷载以前的卸载，残余应力反号的是塑性区，但塑性区并未反向屈服，因此结构依然是安全的。纯弯曲梁的塑性极限荷载相比弹性荷载提高约50%，而曲率增大至弹性的5倍。工程上控制弯矩在弹性极限荷载和塑性极限荷载之间，可以有效的提高结构承载力，变形依然是可控范围内，这就是塑性力学的目的了。
比纯弯曲梁稍复杂的是集中荷载作用下的悬臂梁，悬臂梁各横截面的应力均不相同，最危险的地方是固定端，当固定端的全截面进入屈服，固定端变为塑性铰，此时结构失效，对应的外荷载就是塑性极限荷载。塑性极限荷载比弹性的提高约50%，自由端的挠度是弹性的约2倍。
最后一例是圆杆的扭转。扭转时半径不同的点应力不同，半径最大的外缘首先进入屈服，全截面进入屈服就是杆失效时，对应的扭矩就是塑性极限荷载了。塑性极限荷载比弹性极限荷载大约30%。
这些都是最简单应力状态下的弹塑性分析。略复杂些的应力状态的弹塑性分析是由受力平衡方程和应力屈服条件解出的应力状态，这将在后面介绍，如薄壁圆管的拉扭问题，圆筒受内外压的弹塑性分析，球受内压的弹塑性分析等。弹塑性分析一般的应力状态时还要考虑本构关系才能确定应力，由于可确定精确解的问题少且过程复杂，本书不涉及。
