常见的金属材料本构模型

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本构模型泛指应力张量与应变张量之间的关系，其作用主要是将连续介质的变形与内力联系起来。针对汽车用金属板材，常用本构模型来描述材料的弹塑性变形行为。金属板材的本构模型主要包含屈服准则、硬化准则、应变率强化准则几个方面。屈服准则用于描述材料何时进入屈服面；硬化准则用于描述材料变形过程中屈服应力的变化情况；应变率强化准则用于描述不同应变率下材料变形过程中屈服应力的变化情况。

1、屈服准则

屈服方程用来表示屈服发生时各个应力分量之间的关系，当等效应力

达到一定值时，材料开始屈服。根据是否考虑各向异性分为各向同性和各向异性屈服方程。

Von Mises方程是最常用的各向同性屈服方程，如公式（1）所示，考虑了第二主应力的影响，被试验证明更接近于试验结果。此外Hosford非二次各向同性屈服方程，如公式（2）所示，m作为指数，可以调节屈服面曲率。对于体心立方晶体（BCC）材料， m 值推荐为6，对于面心立方晶体（FCC）材料，m 值推荐为8。当m=2时，退化为Von Mises准则。

式中，σ1,σ2,σ3 表示第一、第二、第三主应力。常用各向异性屈服方程有 Hill48、Yld89、 Yld2000-2d、Lou-Yoon’2018。

1） Hill48各向异性屈服方程

平面应力状态下 Hill48 各向异性屈服方程如公式（3）所示，有 4 个参数，为保证标定效果，根据不同标定方法分为 R- based Hill48 和 S- based Hill48。R-based Hill48用来描述塑性势函数，由r值标定。S-based Hill48 用来预测不同方向下的屈服应力，由归一化屈服应力比标定。

式中，G，H，F，N为方程参数，σxx ，σyy ，σxy 为平面应力状态下应力分量。

2） Yld89各向异性屈服方程见公式（4）

式中，K1，K2 为应力张量不变量，a，c，h 和 P 为方程参数，m 为指数。对于体心立方晶体（BCC）材料，m 值推荐为 6，对于面心立方晶体（FCC）材料，m 值推荐为 8。

3）Yld2000-2d各向异性屈服方程。 Barlat 等提出了适用于平面应力状态的 Yld2000-2d 各向异性屈服方程，如公式（5）所示，共有8个参数。

式中，X′ 1,2 和 X″ 1,2 分别是两个经过线性转换的偏应力张量的主值，m为指数。两个经过线性转换后的偏应力张量分别为 X′ 和 X″ ，线性转换公式如下。

4） Lou-Yoon’2018各向异性屈服方程如下。不同于上述基于主应力的屈服方程，LouYoon’2018 各向异性屈服方程基于第二和第三偏应力不变量，形式如下。

式中，J′ 2 和 J′ 3 是经过线性转换后的偏应力 s′ 的第二和第三偏应力不变量。偏应力 s′ 由柯西应力 σ 通过一个线性转换矩阵 L′ 得到，如下。

平面应力状态下，Lou-Yoon’2018 各向异性屈服方程有 4 个各向异性参数( c ′ 1 , c ′ 2 , c ′ 3 , c ′ 6 )，c 值用来调节屈服面曲率。对于 BCC 材料，c 值推荐为 1.226，对于FCC材料，c 值推荐为2。

2、硬化模型

金属材料的硬化模型分为各向同性硬化模型、随动硬化模型和混合硬化模型。各向同性硬化模型由 Hill提出，如式（11）所示。模型中假设材料在发生塑性变形时，屈服面的形状和位置保持不变，向外呈同步扩张，如图 1 所示。

式中，f为屈服函数，σ0 为初始屈服应力，R为与等效塑性应变有关的标量函数。

图1 各向同性硬化模型屈服面的变化

随着 Krige等提出动硬化模型，如式（12）所示。模型中假设材料在发生塑性变形时，屈服面的形状和大小保持不变，只发生位置的改变，如图 2所示。

式中，a为背应力张量，σ0 为初始屈服应力。

图2 随动硬化模型屈服面的变化

混合硬化模型由 Chaboche提出，如式（13）所示。模型中假设材料在发生塑性变形时，屈服面即发生位置的改变，也会发生形状的各向同性扩张。

式中，a 为背应力张量，σ0 为初始屈服应力，R为与等效塑性应变有关的标量函数。

对于汽车用金属板材而言，常用各向同性硬化模型来描述材料变形过程中屈服应力的变化情况。一般根据硬化模型在大应变下应力是否收敛分为饱和型硬化模型和非饱和型硬化模型。

非饱和硬化模型有以下5种。

1）Ludwik.P 在1909年提出的Ludwik 模型，如下所示。

式中，σ0 为屈服强度，εp 为塑性应变，K和 n为材料常数。

2）Hollomon.J.H 在 1945 年提出的 Hollomon 模型，如下所示。

式中，εp 为塑性应变，K和n为材料常数。

3）Swift.H.W0在 1952 年提出的 Swift 模型，如下所示。

式中，ε0 为初始应变，εp 为塑性应变，K和 n为材料常数。

4）饱和硬化模型数量较少，一般常用的有 Voce E在1948年提出的Voce硬化准则，如下所示。

式中，σ0 为屈服强度，εp 为塑性应变，A和 B为材料常数。

5）J. E.Hockett 和 O.D.Sherby在 1975 年提出的 Hockett-Sherby硬化准则，如下所示。

式中，σ0 为屈服强度，εp 为塑性应变，A，B和 n为材料常数。

3、应变率强化

应变率强化是材料在塑性变形过程中变形抗力随着应变率的增加而增加的现象，属于材料发生塑性变形时的强化效应。对于大多数汽车用金属板材而言，都存在应变率强化效应。在本构模型中，常采用 Johnson-Cook 方程、Cowper-Symonds方程和Table表3种方式来考虑金属板材的应变率强化效应。

1）Johnson-Cook 方程中，等效应力是塑性应变、应变率和温度的函数，如下所示。

式中，σˉ 为等效应力，εp 为塑性应变，ε˙ p 为塑性应变率，ε˙ 0 p 为参考应变率，T为温度，Tr 和 Tm 分别是室温和材料熔点，A，B，C，n和m为材料常数。针对汽车用金属板材，常不考虑Johnson-Cook方程中的温度项，即Johnson-Cook方程简化为：

在Johnson-Cook 方程中考虑应变率效应时，根据材料在不同应变率下的真应力-真应变曲线和屈服强度值进行拟合，即可获得A，B，C，n参数值。 Cowper-Symonds 方程中，材料在不同应变率下的屈服强度可通过准静态条件屈服强度进行求解，如下所示。

式中，σ0 为准静态条件下的屈服应力，C，P为材料常数。在 Cowper-Symonds 方程中考虑应变率效应时，根据材料在不同应变率下的屈服应力值进行拟合，即可获得C，P参数值。

Table 表是以表格的形式，直接输入材料在不同应变率下的真应力-真应变曲线，在计算过程中，根据单元的应变率变化情况，直接调用对应应变率下的真应力-真应变曲线，从而达到考虑材料应变率效应的目的。对于未在 Table 表中定义的应变率，计算时直接采用相邻应变率区间的真应力-真应变曲线进行线性插值，从而获得该应变率对应的真应力-真应变曲线。