03.完全积分和缩减积分
在有限元分析中，经常会使用不同的单元类型进行仿真分析，每个单元在应用中也有不同的积分算法；本文介绍完全积分和缩减积分的定义及应用场景。
一、完全积分
【1】定义
完全积分(FullIntegration)：是指当单元具有规则形状时，所用的高斯积分点可以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确地积分，即高斯积分阶数等于被积函数多项式的项数。
完全积分
□为节点，○为积分点，每条单元边上积分点的数目与节点的数目相同。
对六面体和四边形单元而言，所谓“规则形状"是指单元的边相交成直角，而任何边上的节点是在边的中点。
二维单元：
在完全积分的二维四边形单元中积分点的位置如图所示。
线性单元 二次单元
三维单元：
如果线性六面体单元如要完全积分，则在每一方向需要两个积分点。因此，单元中排列了2 × 2 × 2个积分点。而二次单元如要完全积分则在每一方向需要3个积分点。
线性单元 二次单元
【2】剪切自锁
在完全积分算法中，对于低阶单元而言，会存在剪切锁定和体积锁定导致结果出现失真。
剪力自锁引起单元在弯曲时过于刚硬。考虑受纯弯曲结构中的一小块材料，如下图所示，材料产生弯曲，变形前平行于水平轴的直线成为常曲率的曲线，而沿厚度方向的直线仍保持为直线，水平线与竖直线之间的夹角保持为90°。
受弯曲的材料变形
用完全积分单元来模拟小块材料，由于一阶单元积分点过少，无法完全模拟边的弯曲形状，其水平线与竖直线之间的夹角无法保持90°，所以则变形后的形状如下图所示。
受弯曲的完全积分线性单元的变形
为清楚起见，画出了通过积分点的虚线。显然，上部虚线的长度增加，说明1方向的应力σ11是拉伸的。类似地，下部虚线的长度缩短，说明σ11是压缩的。竖直方向虚线的长度没有改变（假设位移是很小的），因此，所有积分点上的σ22为零。所有这些都与受纯弯曲的小块材料应力的预期状态是一致的。但是，在每一个积分点处，竖直线与水平线之间的夹角开始时为90°，变形后却改变了，说明这些点上的剪应力σ12不为零。显然，这是不正确的：在纯弯曲时，这一小块材料中的剪应力应该为零。
产生这种伪剪应力的原因是因为单元的边不能弯曲，它的出现意味着应变能正在产生剪切变形，而不是产生所希望的弯曲变形，因此，总的挠度变小，即单元过于刚硬。
剪力自锁仅影响受弯曲载荷完全积分的线性单元的行为。在受轴向或剪切载荷时，这些单元的功能表现很好。而二次单元的边界可以弯曲，故它没有剪力自锁的问题。但是，如果二次单元发生扭曲或弯曲应力有梯度，将有可能出现某种程度的自锁，这两种情况在实际问题中是可能发生的。
受弯曲的完全积分二次单元的变形
二、缩减积分
【1】定义
缩减积分(Reduced Integration) ：是指积分点的阶数低于节点的阶数的单元积分法，即每条单元边上积分点的数目与节点的数目相比少一个。
缩减积分单元
□为节点，○为积分点，缩减积分单元为单积分点，如上图积分点为1个。
【2】应用
只有四边形和六面体单元才能采用减缩积分。而所有的楔形、四面体和三角形实体单元采用完全积分，尽管它们可以与减缩积分的六面体或四边形单元用在相同的网格中。
【3】沙漏控制
线性减缩积分单元由于存在着所谓沙漏（hourglassing）的数值问题而过于柔软。利用受纯弯载荷的一小块材料模型，再一次考虑减缩积分单，如下图。
受弯曲的减缩积分线性单元的位移
单元中虚线的长度均没有改变，并且其间的夹角也未改变，这意味着在单元单个积分点上的所有应力分量都为零。由单元扭曲没有产生应变能，所以这种弯曲的变形模态是一个零能量模式。由于单元在此状态下没有刚度，所以不能承受此种形式的位移。在粗网格中，这种零能量模式可过网格扩展，从而产生无意义的结果。
