《Mechanics of Solid Polymers》5.3.8 Yeoh超弹模型
5.3.8 Yeoh模型 Yeoh模型是基于Helmholtz自由能，这个自由能表达为关于I₁的三阶多项式，且不依赖于I₂。由于包含了更高阶的I₁项，该模型能够提供比NH模型更准确的预测，同时可能避免Mooney-Rivlin模型的一些稳定性问题。对于Yeoh模型的可压缩版本，一种便捷的方法来表示单位参考体积的Helmholtz自由能如下： 该模型需要四个材料参数：C₁₀、C₂₀、C₃₀和κ。需要注意的是，一些有限元程序还使用更高阶项来表示体积变形的能量。正如在2.2.9节中讨论的那样，这些高阶项在模型预测的精度中很少起作用。 Yeoh模型的主要动机之一是，对于大多数弹性体而言，Helmholtz自由能对第一不变量I₁的依赖性比对I₂的依赖性强得多[24-26]。此外，实验上很难确定Helmholtz自由能对I₂项的依赖关系。基于这些论点，Yeoh [24]建议可以合理地忽略对I₂的依赖。还有研究表明，通过忽略I₂的依赖性，可以更容易地确保超弹性模型是Drucker稳定的[24]（参见5.8.2节）。 使用方程（5.41），可以证明可压缩Yeoh模型的Cauchy应力由下式给出： 对于不可压缩Yeoh模型版本，单轴、平面和等双轴变形的Cauchy应力由以下表达式给出： Yeoh模型预测弹性体行为的准确性如图5.17中所示。这张图表明，对于不同的加载模式，Yeoh模型能够改进NH模型的预测结果，特别是在大变形情况下。对于许多弹性体材料，已有研究[27]表明，一个选择材料参数的经验法图5.17 Treloar[16]的实验数据与不可压缩Yeoh模型预测结果的对比则是C₁₀为正值，C₂₀ ≈ -0.01C₁₀，以及C₃₀ ≈ -0.01C₂₀。 对于不可压缩单轴加载，Yeoh材料模型可以使用以下Python代码实现：Python代码："Yeoh_incompressible_uniaxial.py"from pylab import *defYeoh(strain, params):"""Yeoh 超弹性模型。 不可压缩单轴加载。 此函数使用真实应力和应变""" C10 = params[0] C20 = params[1] C30 = params[2] lam = exp(strain) I1 = lam**2 + 2/lamreturn2 * (lam*lam - 1/lam) * (C10 + 2*C20*(I1-3) + 3*C30*(I1-3)**2)strain = linspace(0, 0.8)params = [1.0, -0.1, 0.01]stress = Yeoh(strain, params)plot(strain, stress, 'r-')show()以下代码示例展示了如何实现可压缩单轴加载的Yeoh材料模型：defYeoh_3D(stretch, param):"""Yeoh 3D加载由拉伸指定。 param: [C10, C20, C30, kappa]。返回真实应力。""" L1 = stretch[0] L2 = stretch[1] L3 = stretch[2] F = array([[L1,0,0], [0,L2,0], [0,0,L3]]) J = det(F) bstar = J**(-2.0/3.0) * dot(F, F.T) devbstar = bstar - trace(bstar)/3 * eye(3) I1s = trace(bstar)return2/J*(param[0] + 2*param[1]*(I1s-3) + \3*param[2]*(I1s-3)**2)*devbstar + param[3]*(J-1) * eye(3)Python代码："Yeoh_compressible_uniaxial.py"from pylab import *from Polymer_Mechanics_Chap05 import *trueStrain = linspace(0, 0.8, 100)trueStress = uniaxial_stress(Yeoh_3D, trueStrain, \ [1.0, -0.01, 1e-4, 100])plot(trueStrain, trueStress, 'r-')xlabel('True Strain')ylabel('True Stress (MPa)')grid('on')show()Python代码创建的图：来源：ABAQUS仿真世界
