弹性力学那些事| 空间问题解答：解锁三维世界的力学密码
第一节 基本方程的直角坐标形式：空间一般问题的解答
当我们面对复杂的空间结构，如大型体育场馆的网架、航空航天中的复杂零件时，基本方程的直角坐标形式就成为了我们探索力学行为的基础工具。在三维直角坐标系中，每一个点都由 在直角坐标系中，空间一般问题需要考虑三个方向 的应力。应力分量有 9 个，分别 , , , , , , , , ,以 为例，它表示在垂直于x轴的面元上，y方向的应力。根据剪应力互等定理 , , ,这一定理基于物体的平衡条件，在微观层面上，物体内部的力需要相互平衡，从而使得剪应力在相互垂直的面上大小相等、方向相反。因此，实际独立的应力分量为 6 个。这 6 个独立应力分量就像一张 “力的网络”，全面描述了物体内部各个方向的受力状态。
应变分量同样有6个，分别为 , , , , , ,它们与位移分量u、v、w（分别为x、y、z方向的位移）存在着紧密的数学关系：
这些公式从数学上精确地刻画了物体的形变。以 为例，它表示在x和y方向的剪切应变，是由x方向位移对y的偏导数与y方向位移对x的偏导数共同决定的。通过这些应变分量，我们可以清晰地了解物体在受力时各个方向的变形情况。 以大型体育场的网架结构为例，如图所示：在设计这种结构时，需要考虑多种复杂载荷。风力会从不同方向作用于网架，产生压力和吸力；人群荷载在比赛时集中分布，在散场时又会发生变化。这些载荷在x、y、z三个方向都会产生作用。工程师通过上述直角坐标形式的基本方程，建立详细的力学模型。首先，根据网架的几何形状和材料属性，确定各个杆件的初始状态；然后，将风力、人群荷载等作为外部载荷输入模型。通过求解应力、应变和位移方程，得到各个杆件的应力和应变情况。例如，在某次强风模拟中，通过计算发现网架顶部某些杆件的应力接近材料的许用应力，工程师据此对这些杆件进行了加强设计，从而确保网架结构在各种复杂载荷下的安全性和稳定性。 然而，由于空间一般问题涉及多个变量和复杂的方程，在实际计算中，往往需要借助有限元软件等工具来求解这些方程。有限元软件将连续的物体离散成多个小单元，通过对每个单元的力学分析，再进行整合，从而得到整个物体的力学响应，大大提高了计算效率和准确性。
第二节 基本方程的柱坐标形式：轴对称问题的解答
在工程中，存在许多具有轴对称特性的结构，如圆柱形储罐、发动机的轴类零件等。对于这类结构，采用柱坐标形式的基本方程来求解会更加简便高效。柱坐标系以一个点到轴的距离r、该点与轴所确定平面与某一固定平面的夹角θ，以及该点在平行于轴方向上的坐标z来确定空间位置，这种坐标系与轴对称结构的特性天然契合。柱坐标系下，坐标变量为r（径向）、θ（环向）、z（轴向）。应力分量有 , , , , , , , ,同样根据剪应力互等定理，实际独立应力分量为 6 个。应变分量与位移分量 （径向位移）、 （环向位移）、 （轴向位移）的关系如下：
这些公式体现了柱坐标系下应变与位移的独特关系。例如， 不仅与环向位移 对θ的偏导数有关，还与径向位移 相关，这是由于柱坐标系的特性决定的。
对于轴对称问题，结构的几何形状、材料性质、载荷和边界条件都绕某一轴（通常为z轴）对称。这意味着在环向（θ方向）上，结构的力学性能不会发生变化，此时环向位移 ，所有物理量都与环向坐标θ无关。这一特性极大地简化了问题的求解。
以圆柱形储罐为例，在储存液体时，储罐承受液体的压力。由于储罐的轴对称特性，我们可以利用柱坐标形式的基本方程简化计算。此时，平衡方程简化为：
通过求解上述方程，得到储罐壁的应力分布。例如，在某一储罐的设计中，通过计算发现储罐底部靠近内壁处的环向应力较大，容易出现裂纹。工程师根据这一结果，在该区域增加了壁厚，并采用了更高强度的材料，有效提高了储罐的安全性。
某化工厂的大型圆柱形储罐，高度为 20 米，直径为 10 米，用于储存腐蚀性液体。在设计阶段，工程师利用柱坐标形式的基本方程进行应力分析。首先，确定液体压力随深度的变化规律，将其作为载荷输入模型；同时考虑储罐自身的重力以及风载荷等因素。通过计算，得到储罐壁在不同位置的应力分布情况。在储罐底部，由于液体压力较大，径向应力和环向应力都较高；在储罐顶部，应力相对较小。根据应力分析结果，工程师对储罐的壁厚进行了优化设计：底部壁厚设计为 12 毫米，顶部壁厚为 8 毫米，中间部分壁厚逐渐过渡。此外，还在储罐内部设置了加强圈，进一步提高储罐的稳定性和抗变形能力，确保储罐在储存液体过程中的安全运行。
第三节 基本方程的球坐标形式：球对称问题的解答
在涉及球形结构或近似球形结构的问题时，如球形压力容器、天体物理中的星球内部力学分析等，球坐标形式的基本方程就派上了用场。球坐标系以点到原点的距离r、该点与原点连线和 z轴正方向的夹角θ（纬度方向），以及该点在 xOy平面上的投影与x轴正方向的夹角φ（经度方向）来确定空间位置，非常适合描述球对称问题。球坐标系下，坐标变量为r（径向）、θ（纬度方向）、φ（经度方向）。应力分量有 , 等6个应变分量与位移分量 （径向位移）、 （纬度方向位移）、 （经度方向位移）的关系较为复杂，比如： 在球坐标系下，应变与位移的关系涉及到更多的几何因素和偏导数运算，反映了球形结构力学分析的复杂性。对于球对称问题，结构和载荷关于球心对称，此时 ，所有物理量仅与径向坐标r有关。这使得问题的求解得到了极大的简化。当球形压力容器内部承受压力时，利用球坐标形式的基本方程进行分析。平衡方程在球对称情况下可简化为：
某天然气储存站的球形压力容器，直径为 8 米，设计压力为 10 兆帕。在设计过程中，工程师采用球坐标形式的基本方程对容器进行力学分析。首先，将内部气体压力作为主要载荷，同时考虑容器自身的重力以及外部环境温度变化引起的热应力。通过求解球对称情况下的平衡方程和应力 - 应变关系方程，得到压力容器壁的应力分布。结果显示，在容器的赤道位置，环向应力达到最大值。为了确保容器的安全性，工程师采用高强度合金钢作为容器材料，并在赤道位置增加了额外的加强结构。经过严格的计算和测试，该球形压力容器成功投入使用，能够稳定地储存天然气，为城市的能源供应提供了可靠保障。弹性力学的空间问题解答，通过不同坐标系下的基本方程，为我们解决复杂的三维力学问题提供了有力的武器。无论是直角坐标下的空间一般问题，柱坐标下的轴对称问题，还是球坐标下的球对称问题，这些知识都在实际工程中发挥着至关重要的作用。你在工程实践或学习过程中，遇到过哪些有趣的空间力学问题呢？欢迎在评论区分享！
