有限元基础知识：接触检测中的分离轴定理SAT
SAT原理的基本原理其实非常的简单与清晰，其核心就是说：如果有一条轴可以将两个凸多边形（多面体）分开，那么这两个物体就没有接触。多么清晰，具体证明这里由于并不是讲数学，就不说了，大家就默认有这样一条定理就好了。然而大家用眼睛看，就非常容易判断出来有一条轴能轻松的分开两个物体，可用计算机怎么算呢，这就是我们今天要说的。
上次讲到OBB及其计算，比如在2维空间下，我们找到了两个物体的OBB，我们想判断其是否接触，这个过程并不像AABB检测接触那样直截了当，我们看OBB都是凸的，那么我们就用SAT进行计算。
然而空间中，其实有无数条轴，我们在计算机角度怎么看出来有没有呢，毕竟计算机没有眼睛（其实我一直好奇我们的眼睛是咋能看出来的，内部逻辑是啥）。科学家们就得出了一个结论，其实我们并不需要检测所有的轴向，对于上述的两个4边形，其实我们只需要各自检测每条边的法向方向，总共也就是8个方向，检查所有节点在各个轴方向上的投影，检查两个物体的投影是否发生重叠，因为每个方向都需要检测每个点，所以复杂度大概就是 。然而这里其实有个简化因为对于二维的OBB，每个对边的法向方向都是在一条轴上的，所以其实只需要检查两个OBB的各自2个面的法向就OK了，所以共四条轴，每条轴检查每个顶点，所以就是做 次检查，下面就是这种情况的C++代码
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
struct Point2D {
double x, y;
Vector2 operator-(const Point2D& other) const {
return {x - other.x, y - other.y};
}
Vector2 operator+(const Point2D& other) const {
return {x + other.x, y + other.y};
}
Vector2 operator*(double scalar) const {
return {x * scalar, y * scalar};
}
double dot(const Point2D& other) const {
return x * other.x + y * other.y;
}
Point2D normalize() const {
double len = std::sqrt(x * x + y * y);
return {x / len, y / len};
}
};
// 计算边的法向量（分离轴）
Point2D getNormal(const Point2D& edge) {
return {-edge.y, edge.x}.normalize(); // 顺时针旋转90度得到法向量
}
// 计算物体在轴上的投影范围
std::pair<double, double> project(const std::vector<Point2D>& vertices, const Point2D& axis) {
double min = FLOAT_MAX;
double max = -FLOAT_MAX;
for (const auto& v : vertices) {
double p = v.dot(axis);
if (p < min) min = p;
if (p > max) max = p;
}
return {min, max};
}
// 检测投影是否重叠
bool overlap(const std::pair<double, double>& a, const std::pair<double, double>& b) {
return (a.second >= b.first && b.second >= a.first);
}
// 2D SAT碰撞检测
bool satCollision(const std::vector<Point2D>& polyA, const std::vector<Point2D>& polyB) {
// 获取所有边的法向量作为分离轴
std::vector<Point2D> axes;
const int size = 2;
for (size_t i = 0; i < size; ++i) {
Vector2 edge = polyA[i+1] - polyA[0];
axes.push_back(getNormal(edge));
}
for (size_t i = 0; i < size; ++i) {
Vector2 edge = polyB[(i+1)] - polyB[0];
axes.push_back(getNormal(edge));
}
// 检查所有分离轴
for (const auto& axis : axes) {
auto projA = project(polyA, axis);
auto projB = project(polyB, axis);
if (!overlap(projA, projB)) {
return false; // 存在分离轴，不相交
}
}
return true; // 所有轴投影重叠，相交
}
代码说明：
Point2D：定义二维向量运算（加减、点积、归一化）, 包括定义2D点坐标。 getNormal函数：通过边向量计算法向量（顺时针旋转90度），2D情况一条线的法向向量可以轻松得到，都不用算。 project函数：计算多边形在轴上的投影范围。 satCollision函数：遍历所有分离轴，判断是否存在不重叠的投影。
const int size = 2;
for (size_t i = 0; i < size; ++i) {
Vector2 edge = polyA[i+1] - polyA[0];
axes.push_back(getNormal(edge));
}
这里可以看到我们针对OBB的情况进行了特化，上边这段代码使得每个OBB只计算两条边的法向，而不是像通用SAT的情况下计算所有边的法向，如果想改为通用的方式也很简单，只需要改为如下的这段代码就可以了，这样对于一个任意凸四面体则就是计算了4条边的法向方向作为分离轴进行后续判断。
const int size = polyA.size();
for (size_t i = 0; i < size; ++i) {
Vector2 edge = polyA[(i+1)%size] - polyA[i];
axes.push_back(getNormal(edge));
}
总的来说代码逻辑也十分简单，就是先获得所有需要检测的分离轴，存在容器axes 里面，后面再对每个四边形的所有顶点都进行向这个轴投影，如果最大最小区域在某条轴没有overlap了，则说明分离轴存在，物体不相交，比如如下图所示的情况：
这样一条轴上，A、B两者的投影范围没有相交，其实就可以判定其物体并不发生碰撞了，也就不用继续后面的接触计算了。
好了到这里就说完了2D分离轴定理下OBB接触检测的基本算法流程，这里还有很多没有详细说明，比如为何检查这些法向方向就够了，大家可以参考计算图形学或者数学相关的书，这部分都会有严格的证明，本着大家能用为主，这里就不再详述。
对于3D情况会更加复杂一些，不过原理也是类似的，但现在需要检查的轴变多了一些：需检查两个OBB的面法线（各3个）及边之间的叉乘方向（共9个），总计15个轴，计算繁琐很多。
我们无论在接触搜索中采用OBB还是k-Dops亦或是convex hull其实都是凸的，其实对于凸的物体的多边形还有很多算法，比如大名鼎鼎的GJK算法，如果大家后续有兴趣也可以分享一下，非常的有趣。
