《Mechanics of Solid Polymers》5.3.8 Yeoh超弹模型

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5.3.8 Yeoh模型

Yeoh模型是基于Helmholtz自由能，这个自由能表达为关于I₁的三阶多项式，且不依赖于I₂。由于包含了更高阶的I₁项，该模型能够提供比NH模型更准确的预测，同时可能避免Mooney-Rivlin模型的一些稳定性问题。对于Yeoh模型的可压缩版本，一种便捷的方法来表示单位参考体积的Helmholtz自由能如下：

该模型需要四个材料参数：C₁₀、C₂₀、C₃₀和κ。需要注意的是，一些有限元程序还使用更高阶项来表示体积变形的能量。正如在2.2.9节中讨论的那样，这些高阶项在模型预测的精度中很少起作用。

Yeoh模型的主要动机之一是，对于大多数弹性体而言，Helmholtz自由能对第一不变量I₁的依赖性比对I₂的依赖性强得多[24-26]。此外，实验上很难确定Helmholtz自由能对I₂项的依赖关系。基于这些论点，Yeoh [24]建议可以合理地忽略对I₂的依赖。还有研究表明，通过忽略I₂的依赖性，可以更容易地确保超弹性模型是Drucker稳定的[24]（参见5.8.2节）。

使用方程（5.41），可以证明可压缩Yeoh模型的Cauchy应力由下式给出：

对于不可压缩Yeoh模型版本，单轴、平面和等双轴变形的Cauchy应力由以下表达式给出：

Yeoh模型预测弹性体行为的准确性如图5.17中所示。这张图表明，对于不同的加载模式，Yeoh模型能够改进NH模型的预测结果，特别是在大变形情况下。对于许多弹性体材料，已有研究[27]表明，一个选择材料参数的经验法

图5.17 Treloar[16]的实验数据与不可压缩Yeoh模型预测结果的对比

则是C₁₀为正值，C₂₀ ≈ -0.01C₁₀，以及C₃₀ ≈ -0.01C₂₀。

对于不可压缩单轴加载，Yeoh材料模型可以使用以下Python代码实现：

Python代码："Yeoh_incompressible_uniaxial.py"

from pylab import *

defYeoh(strain, params):
"""Yeoh 超弹性模型。
    不可压缩单轴加载。
    此函数使用真实应力和应变"""
    C10 = params[0]
    C20 = params[1]
    C30 = params[2]
    lam = exp(strain)
    I1 = lam**2 + 2/lam
return2 * (lam*lam - 1/lam) * (C10 + 2*C20*(I1-3) + 3*C30*(I1-3)**2)

strain = linspace(0, 0.8)
params = [1.0, -0.1, 0.01]
stress = Yeoh(strain, params)
plot(strain, stress, 'r-')
show()

以下代码示例展示了如何实现可压缩单轴加载的Yeoh材料模型：

defYeoh_3D(stretch, param):
"""Yeoh 3D加载由拉伸指定。
    param: [C10, C20, C30, kappa]。返回真实应力。"""
    L1 = stretch[0]
    L2 = stretch[1]
    L3 = stretch[2]
    F = array([[L1,0,0], [0,L2,0], [0,0,L3]])
    J = det(F)
    bstar = J**(-2.0/3.0) * dot(F, F.T)
    devbstar = bstar - trace(bstar)/3 * eye(3)
    I1s = trace(bstar)
return2/J*(param[0] + 2*param[1]*(I1s-3) + \
3*param[2]*(I1s-3)**2)*devbstar + param[3]*(J-1) * eye(3)

Python代码："Yeoh_compressible_uniaxial.py"

from pylab import *
from Polymer_Mechanics_Chap05 import *

trueStrain = linspace(0, 0.8, 100)
trueStress = uniaxial_stress(Yeoh_3D, trueStrain, \
             [1.0, -0.01, 1e-4, 100])

plot(trueStrain, trueStress, 'r-')
xlabel('True Strain')
ylabel('True Stress (MPa)')
grid('on')
show()

Python代码创建的图：

来源：ABAQUS仿真世界

PC/ABS 复合材料动态失效行为研究

JiayuZhou1,ZhaodongXia1,DongfangMa2,*,HuanranWang1Materials(Basel).2024Apr10;17(8):1728.doi:10.3390/ma17081728摘要PC/ABS复合材料是安全气囊盖板的常用材料，本文对PC/ABS复合材料进行了不同温度和应变速率下的单轴拉伸试验。结果表明，温度和加载速率对PC/ABS复合材料的力学性能有影响，随着温度的升高，屈服应力减小，断裂时刻的应变增大，但同一温度下应变速率对力学性能影响较小，与延性材料相似。将试验结果代入考虑热效应的Abaqus模型，采用逆方法计算得到准确的Johnson-Cook本构参数。基于本构模型和DIC获得的失效分析结果，模拟了室温和不同应变速率下的单轴拉伸试验，并与试验结果进行了比较，准确再现了试验过程。设计了PC/ABS复合材料靶板压入试验，建立了有限元模型模拟试验过程。研究结果与试验结果进行了对比，表明本构断裂应变和失效断裂应变计算结果正确。关键词：失效分析、聚合物和塑料、Johnson-Cook本构、数值模拟、反演方法本文通过单轴拉伸试验及弹道冲击试验标定了PC/ABS复合材料的Johnson-Cook模型塑性及失效参数，取得较好的效果。本文获得的PC/ABS材料参数如下：密度1120kg/m3比热容机械-热转化β0.9摩擦系数0.25杨氏模量1750MPa泊松比0.38A57.5MPad10.825B120MPad2-0.043C0.032d32.6n1.734d4/m1.02d5/一、拉伸试验实验采用型号为TC-45M的PC/ABS复合材料，试样设计如图1b所示，并在MTS-810动静万能材料试验机（美国MTS公司）上进行测试（图1a）。该设备应变率范围为10⁻⁴–10s⁻¹，配备温控箱以实现不同温度下的中低应变率拉伸试验。高速拉伸时需考虑试样尺寸对力平衡误差的影响，因此选用15mm的标距长度，以减小尺寸对实验结果的影响，同时适用于准静态实验。由于PC/ABS复合材料广泛应用于汽车制造（如安全气囊盖），其在高应变率下的失效行为是研究重点，因此额外选用ZwickRoell-5020高速液压拉伸试验机系统（图1c，应变率范围10–1000s⁻¹）进行高速冲击测试。试样尺寸统一采用图1b所示规格（标距15mm），具体实验条件如表1所列，涵盖应变率（0.01–1000s⁻¹）和温度（238.15K–293.15K）的多组合工况。Table1.单轴拉伸试验条件Strains(s−1)Temperature(K)EquipmentModelLoadingRate(mm/s)0.01238.15/273.15/293.15MTS-8100.1511510150100ZwickRoell-50201500100015,000图1273.15K和应变率0.01s−1.准静态测试三次的应力-应变曲线二、弹道冲击试验本研究设计了针对PC/ABS复合材料的弹道冲击试验，以评估其在高速冲击下的动态响应特性。试验设计靶板规格：采用100mm×100mm×3mm的矩形PC/ABS复合材料靶板，四角设置固定孔以确保试验过程中靶板稳定。弹体参数：弹体由Cr12MoV工具钢制成，采用圆柱形设计（长度24mm，直径12mm的半球形头部），具体尺寸见图2a。试验装置与条件冲击系统：使用口径12mm、枪管长度4m的高速气枪发射弹体，弹体平均撞击速度控制在34m/s（高于高速公路车辆平均速度30m/s[22]）。通过测速仪实时监测弹体速度，确保试验条件的一致性。数据采集系统：采用高速摄像系统（采样频率4×10⁴Hz，分辨率384×288像素）记录弹体侵彻过程，拍摄间隔为25μs。摄像方向垂直于弹体入射路径，并在靶板后方设置45°反射镜，以同步捕捉靶板背面的变形与断裂形貌（图2b）。三、材料参数标定冲击载荷下的粘弹热力学耦合模型数量较少，且存在参数测定过多等问题。由于PC/ABS在整车制备中应用广泛，研究其失效行为应关注应变率和温度的影响，尤其是高应变率下的塑性变形与失效，而非其蠕变或松弛行为。因此，本文选取JC本构模型。JC本构模型是描述材料塑性硬化、应变率效应和热软化的唯象模型。这三个唯象公式在JC本构模型中以乘法关系连接，JC本构模型主要适用于大变形、高应变率、高温下的材料，适用于大多数材料的数值模拟。方程（1）的形式为：(1)在哪里——等效塑性应变；——等效塑性应变率；—参考应变率；—参考温度；——材料的熔点温度；—测试温度。是材料参数。以下是本研究确定参数的原理：在参考温度为238.15K、应变速率为0.01s−1时，由力-位移曲线转化而来的应力-应变曲线得出和238.15K下不同应变速率下的应力-应变曲线的值为0.01s−1时不同温度下的应力-应变曲线的值为根据该原则，JC本构模型的初始参数确定为：通过上述反演方法确定了JC本构参数，如Table2所示。数值结果与试验结果对比如Figure8所示，需要指出的是，由于没有破坏准则，所以数值模拟曲线没有出现陡峭的下降，此时在中、低应变速率下变形过程基本可以再现。表2.PC/ABS复合材料的JC本构参数。ABCnm57.5兆帕120兆帕0.0321.7341.02Figure8四、JC本构参数验证反演方法所得结果仅适用于中、低应变率，而气囊展开时覆盖材料经常受到高速冲击载荷。为了检验反演方法确定的JC本构模型在高应变下的有效性，采用高应变率拉伸试验对其进行了校准。使用ZwickRoell-5020高速拉伸试验机，在特定温度室的三个环境温度下，以100s−1和1000s−1的应变率进行单轴拉伸试验。将试验结果与反演方法获得的JC本构模型数值模拟数据进行比较。JC本构模型的数值模拟结果与试验结果较为接近。Figure9给出了对比结果，说明反演方法得到的JC本构模型适用于大应变率。需要特别指出的是，实验过程可视为高速撞击下的绝热过程[33]，实验中会产生大量热量，图案中会产生很大程度的温度变化。因此，在模拟中加入了机械热效应，以校正绝热增温的影响。Figure9一维拉伸状态下的失效行为分析上面构建的JC本构参数不包括失效准则。研究人员关注的是工程中材料的失效行为。本章研究了这种复合材料的失效行为。高速摄像机记录了PC/ABS复合材料在室温下以不同应变速率的变形和断裂过程。请注意，其他温度是通过环境温度箱实现的。因此，其他温度下的过程无法用高速摄像机捕捉到。Figure10显示典型结果。数字图像相关(DIC)可用于使用光学传感器实时测量绘图图案中的尺寸变化。利用DIC获取了不同应变速率下试件拉伸变形信息及试件破坏时刻的局部变形情况，并计算了断裂应变计算公式（2）显示计算结果，其中表示材料的原始横截面积，表示材料断裂的横截面积）[34]。失效区域的局部应变列于Table3中。(2)Figure10表3.断裂应变和样品温度。应变速率（s−1）0.011101001000断裂应变0.8250.8330.9220.6460.527模拟样品温度（K）293313328311309理论样品温度（K）293320.6326.5313.9312.1本文基于反演方法构建的JC本构模型，结合断裂应变根据试件的变形信息计算得到JC本构方程。通过数值模拟分析了不同应变率下PC/ABS复合材料室温（293.15K）单轴拉伸行为，模拟将该过程与高速摄像机的记录进行比较。Figure10展示了典型的对比结果，Figure11将不同应变率下试验的力-位移曲线与数值模拟结果进行了比较。从图中可以看出，利用反演方法确定的JC本构和利用DIC获得的失效参数可以再现室温下不同应变率下PC/ABS复合材料单轴拉伸试验过程。JC失效模型如公式(3)所示，该模型以解耦形式描述应力三轴度、应变速率和温度的影响，以便可以删除对研究不重要的因素。(3)其中—静水应力；——等效强度；—样品温度；—参考温度。需要注意的是，由于拉伸过程中产生大量的热，样品的温度会发生很大的变化，因此指的是试样断裂前材料内部的温度，而不是环境温度。高分子材料对温度高度敏感，在拉伸过程中，试样内会产生大量的热量，导致材料温度迅速升高。为了准确分析失效行为，有限元模拟中的失效温度选择为试件的断裂温度。本文主要研究应变速率和温度对PC/ABS材料失效行为的影响，其中JC失效模型降级为公式（4）。(4)其中,,。拟合后可以确定如图Table3所示，其理论温度也可通过公式（5）计算得出，其中密度ρ=1120Kg/m3，比热c=1400J/(kg.K),机械热效应，是升高的温度。在0.01s−1的应变速率下，样品与外界处于热平衡状态，可视为与环境温度相同。(5)弹道冲击失效行为分析对弹道冲击试验进行了数值模拟。输入是通过DIC计算的失效断裂应变和JC本构参数。使用0.25的摩擦系数来描述子弹与靶板之间的相互作用。Figure12显示了PC/ABS复合材料侵彻实验的有限元模拟结果，以及与侵彻靶板的实验过程的对比。时间（t0=0μs）定义为子弹开始接触靶板的时刻。然后，我们将模拟结果与以下各个时刻的靶板损伤形状和子弹位置进行了对比：t0=0μs、t1=200μs、t2=400μs、t3=600μs、t4=800μs和t5=1000μs。发现有限元模拟结果与实验结果高度一致。将有限元模拟的损伤形状与实验回收的靶板进行了对比，如Figure13所示。考虑到实验过程的复杂性、靶板固定误差以及气压不稳定、子弹射出偏差等诸多不可抗拒的因素，有限元模拟结果是可以接受的。总之，本文利用试件的变形信息计算得到的失效断裂应变和利用反演方法建立的PC/ABS复合材料的JC本构参数都是准确的。Figure12模拟与实验中靶板侵彻破坏过程对比来源：ABAQUS仿真世界