弹性力学那些事之应变状态分析深度解析

第一节  位移

位移是物体受力后发生变形的直观体现，它描述了物体内各点在空间位置上的改变。在弹性力学中，我们通常用向量形式来表示位移。设物体内某点的初始位置坐标为    ，受力变形后移动到新的位置    ，其中    ,    ,    分别为    方向上的位移分量。位移向量    可以表示为：    ,这里    ,    ,    分别是xyz方向的单位向量。位移是一个与空间位置相关的函数，即    ，    ，    ,通过研究位移，我们可以初步了解物体整体的变形趋势，但要更深入地分析物体内部各点的变形程度，还需要引入应变的概念，而位移是后续推导应变相关公式的重要基础。

想象一张平整的桌子，在桌子左上角放置一块橡皮，此时橡皮的位置可以用坐标    来确定。现在，我们用手指轻轻推动橡皮，使它移动到桌子中间位置。此时橡皮的新位置变为    ，这里的    分别是橡皮在    方向上移动的距离。例如，橡皮在方向移动了     厘米，y方向移动了    厘米，    方向没有移动（即    ），那么位移向量    

第二节 几何方程

几何方程建立了位移与应变之间的定量关系，它从数学角度描述了物体变形的本质。应变反映了物体内各点的局部变形情况，包括线应变和角应变。线应变表示线段长度的相对变化，以    方向为例，    方向的线应变    可以通过对位移分量    求偏导得到：可以通过对位移分量    求偏导得到：    。类似地，    方向和    方向的线应变分别为    ,    角应变表示直角的改变量，以 x-y平面为例，x-y平面内的角应变    。同理，    ,    ,用矩阵形式表示几何方程更为简洁，应变矩阵    为：

取一根细长的橡皮筋，将其一端固定在墙上，另一端用手缓慢拉伸。假设橡皮筋初始长度为L0，拉伸后长度变为L，那么橡皮筋在拉伸方向（设为x方向）的线应变    ，这类似于用伸长率来衡量橡皮筋的变形程度。同时，观察橡皮筋的侧面，原本垂直的边在拉伸过程中会发生微小的角度变化，这就是角应变。比如，原本垂直的两边夹角为90∘，拉伸后变为89.5∘，这个角度的改变量就是角应变的体现 。通过几何方程，我们可以将橡皮筋各点的位移与这些应变联系起来，量化其变形情况。

第三节 平面应变状态分析

平面应变状态是一种简化的应变状态，在实际工程中有广泛的应用场景，例如长堤坝、隧道等结构，在垂直于长度方向的各个截面上，应变情况近似相同，可视为平面应变问题。在平面应变问题中，假设物体在z方向上的尺寸很大，且应变仅发生在且应变仅发生在x-y平面内，即    。此时应变矩阵简化为:

对于平面应变状态下的一点，我们可以通过莫尔圆来直观地分析该点的应变状态。莫尔圆以横坐标表示线应变，纵坐标表示角应变的一半。通过给定的    ,    ,,    ,可以绘制出对应的莫尔圆，从而方便地求出该点的主应变（最大和最小线应变）以及主方向（应变最大和最小的方向）。莫尔圆的圆心坐标为    ,半径    ,最大主应变    ，最小主应变    ,。主方向与轴的夹角    可由    确定

第四节 空间应变状态分析

与平面应变状态相比，空间应变状态考虑了物体在三维空间中的所有应变分量，更全面地描述物体的变形情况。应变矩阵    包含九个分量，完整地反映了物体内一点在三个方向上的线应变和三个平面内的角应变。对于空间应变状态下的一点，同样存在主应变和主方向。主应变是指在该点处存在三个相互垂直的方向，在这三个方向上只有线应变而没有角应变。通过求解应变状态的特征方程，可以得到主应变的值。应变状态的特征方程为：    。将应变矩阵代入特征方程展开后得到一个关于    三次方程：    ,其中        ,    

求解上述三次方程得到的三个实根    ,    ,    ,就是该点的主应变。主方向则是与主应变对应的特征向量方向。

第五节 空间应变状态分析主应变与主方向性质定理

主应变和主方向具有一些重要的性质定理，这些定理有助于我们更深入地理解应变状态的本质。

• 主应变的极值性质：主应变是一点处所有方向上线应变的极值。也就是说，在物体内某点处，沿主方向的线应变是该点在所有可能方向上线应变中的最大值和最小值。这一性质使得主应变在分析物体的变形趋势和强度问题时具有重要意义。

• 主方向的正交性：三个主方向相互垂直。这一特性使得我们在研究应变状态时，可以选择主方向作为坐标系，从而简化应变矩阵的形式，方便进行后续的计算和分析。在主坐标系下，应变矩阵变为对角矩阵：

应变能密度的简化表达：应变能密度是描述物体因变形而储存的能量的物理量。在主坐标系下，应变能密度  W 可以表示为：    这种简化的表达形式为计算物体的应变能提供了便利。 这些性质定理不仅从理论上深化了我们对应变状态的认识，还在实际工程应用中为结构设计和材料分析提供了重要的指导原则。

以桥梁的桁架结构为例，在桥梁承受车辆荷载时，桁架中的杆件会发生变形。对于桁架上的某一个关键节点，存在主应变和主方向。主应变的极值性质意味着在这个节点处，沿着主方向的变形是所有方向中最大和最小的。比如，沿着某个主方向杆件可能被拉伸得最长，而沿着另一个主方向可能被压缩得最厉害，这对于判断杆件是否会因过度变形而失效至关重要。主方向的正交性使得工程师在设计和分析时，可以将坐标系建立在主方向上，简化计算。就像搭建房屋时，按照合理的方向（主方向）铺设梁柱，能让结构更稳固。而应变能密度在主坐标系下的简化表达，方便工程师计算节点处因变形储存的能量，评估桥梁结构的稳定性和安全性 。

第六节 应变协调方程

应变协调方程是保证物体变形连续、不产生裂缝或重叠的必要条件。由于应变是通过位移推导得到的，因此各个应变分量之间并非完全独立，它们必须满足一定的关系，以确保物体在变形过程中保持几何上的连续性。根据几何方程对位移的二阶偏导数关系，可以推导出应变协调方程。对于三维问题，应变协调方程共有六个，以其中一个方程为例：    其他五个方程可以通过坐标轮换得到。应变协调方程表明，只有当应变分量满足这些方程时，才存在连续的位移场，使得物体能够按照给定的应变状态发生合理的变形。

我们可以把应变协调方程想象成拼图游戏。每一块拼图代表一个应变分量，只有当所有拼图（应变分量）按照特定的规则（应变协调方程）拼接在一起时，才能组成一幅完整、连续的图案（物体合理变形）。如果某一块拼图的形状不对（某个应变分量不符合方程），就无法与其他拼图拼接，整个图案就会出现裂缝或重叠，这就相当于物体在变形过程中出现了不合理的情况。在实际工程中，比如设计大型建筑的地基时，如果通过计算得到的地基各部分应变不满足应变协调方程，就可能导致地基出现不均匀沉降、裂缝等问题，影响建筑的安全性，所以需要及时检查和修正 。

通过这些生动的例子，希望能让弹性力学中应变状态分析的知识更加清晰明了。如果你还想对某些例子进一步探讨，或者有其他需求，欢迎随时告诉我。