弹性力学那些事之能量原理
第一节 能量视角下的弹性力学
一、弹性体的应变能与余能
弹性体在受力变形过程中，外力所做的功会以能量的形式储存在体内，这种能量被称为应变能（Strain Energy），它是变形体的一种基本能量形式。从数学表达式来看，对于线弹性体，应变能密度 可以表示为 其中， 为应力分量， 为对应的应变分量。该公式表明，应变能密度是应力与应变乘积的一半，体现了应力和应变在能量储存中的耦合作用。与应变能相对应的概念是余能（Complementary Energy）。余能是从应力的角度出发，描述弹性体能量状态的另一种方式。余能密度 的表达式为： ,从形式上看，余能密度与应变能密度相等，但二者的物理意义和应用场景有所不同。应变能常用于基于位移的分析方法，而余能则在基于应力的分析中更具优势。
二、外力功与能量守恒
外力对弹性体所做的功 是能量原理中的另一个关键概念。当外力 作用在弹性体上并引起位移 时，外力功可以表示为： 这里假设外力是缓慢施加的，即准静态过程，此时外力功全部转化为弹性体的应变能，遵循能量守恒定律，即 ，其中 为弹性体的总应变能。能量守恒定律在弹性力学中的应用，为建立能量原理的基本方程奠定了基础。它表明，弹性体在受力变形过程中，外力所做的功与体内储存的应变能之间存在严格的等量关系，这种关系不依赖于具体的变形路径，只与初始和最终状态有关。
为了更直观地理解上述概念，我们以一根简单的轴向拉伸杆为例进行分析。设杆的长度为 ，横截面积为 ，弹性模量为 ，两端受轴向拉力 作用。首先，计算杆的应变。根据胡克定律，轴向应变. ,然后，计算应变能密度。将应力 和应变代入应变能密度公式，可得： ,杆的总应变能 为应变能密度乘以体积，即： ,同时，外力功 ，其中 为杆的伸长量，代入可得 ，与总应变能相等，验证了能量守恒定律的正确性。通过这个简单实例，我们可以清晰地看到应变能、外力功等概念的具体计算过程，以及能量守恒定律在实际问题中的体现。
第二节 实能原理
一、实能原理的基本表述 实能原理（Real Energy Principle）是基于弹性体的真实位移和真实应力建立的能量原理。其核心思想是：在弹性体的平衡状态下，外力所做的实功等于弹性体的实应变能。这里的 “实” 指的是与实际发生的位移和应力相对应的能量关系。对于线弹性体，实能原理可以用数学公式表示为： 即外力功等于应变能，这与第一节中提到的能量守恒定律本质上是一致的。实能原理为解决弹性力学问题提供了一种直接的能量分析方法，通过建立外力功与应变能的等式关系，可以求解弹性体的位移、应力等未知量。应用实能原理解决问题时，通常遵循以下步骤：
确定弹性体的受力情况和边界条件。 假设合适的位移函数，该函数应满足边界条件。 计算外力功W和应变能 U。 根据实能原理 W=U建立方程，求解未知参数。
以简支梁受均布载荷为例进行公式推导。设简支梁长度为 ，抗弯刚度为 ，受均布载荷 作用。假设梁的挠度曲线为 该函数满足简支梁两端挠度为零的边界条件。计算外力功：均布载荷可以看作无数个微元力的集 合，每个微元力作用点的位移为 因此外力功为： 计算应变能：梁的弯曲应变能 U = \frac{1}{2} \int_0^L \frac{M^2(x)}{EI} dx 可以通过积分求得，即： ,其中，弯矩 将挠度曲线和弯矩代入公式，经过计算可以发现 验证了实能原理的正确性。同时通过这种方法可以求解梁的挠度、弯矩等参数。
第三节 虚位移原理
虚位移（Virtual Displacement）是指在满足弹性体约束条件的前提下，任意假想的、微小的位移增量。虚位移不是真实发生的位移，而是为了分析问题而引入的一种数学工具。虚功（Virtual Work）则是外力在虚位移上所做的功，以及内力在虚应变上所做的功。对于弹性体，外力虚功 和内力虚功 的表达式分别为： ,
虚位移原理（Virtual Displacement Principle）指出：在弹性体处于平衡状态时，对于任何满足约束条件的虚位移，外力虚功等于内力虚功，即： 该原理是弹性力学中建立平衡方程的重要依据，它将平衡条件从力的平衡转化为能量的平衡，为解决复杂的力学问题提供了新的思路。从数学角度来看，虚位移原理可以通过变分法推导得出。对于线弹性体，结合胡克定律 可以将内力虚功表示为 进而与外力虚功建立等式关系。
第四节 虚力原理
虚力（Virtual Force）是指在弹性体上假想施加的一组平衡力系，它不引起实际的变形，但可以用于分析弹性体的位移和应变。虚余功（Virtual Complementary Work）是虚力在真实余应变上所做的功，与虚位移原理中的虚功相对应，虚力原理从力的角度出发，建立能量平衡关系。对于弹性体，虚力系 所做的虚余功 和虚余内力功 的表达式为：
虚力原理（Virtual Force Principle）指出：在弹性体具有给定的位移边界条件下，对于任何满足平衡条件的虚力系，虚余功等于虚余内力功，即： 该原理从力的视角构建能量平衡体系，为弹性力学问题的求解开辟了新路径。在实际工程分析中，当遇到需要从已知位移反推应力，或是基于部分应力信息求解位移等复杂情形时，虚力原理凭借其独特的虚拟力系构建方式，能够将原本棘手的问题转化为能量关系的求解，极大地简化了分析流程。 该原理是虚位移原理的对偶原理，适用于已知位移求应力或已知部分应力求位移的问题。通过引入虚力系，可以将位移分析转化为能量分析，为解决反问题提供了有效手段。对于线弹性体，结合胡克定律的逆形式），虚余内力功可以表示为：
进而与虚余功建立等式关系。
应用实例：利用虚力原理求梁的挠度 以简支梁受集中力为例，说明虚力原理的应用。设简支梁长度为 ，抗弯刚度为 ，跨中受集中力 作用，求跨中挠度 。首先，建立真实状态下的弯矩方程。对于简支梁，跨中集中力作用下，弯矩方程为 ，对称部分同理。然后，引入虚力系。为了求跨中挠度，在跨中施加一虚力 ，该虚力系必须满足平衡条件，即虚力在梁两端产生的支座反力为 （方向与虚力相反）计算虚余功： 虚余内力功为： 根据虚力原理 消去 后，得到跨中挠度 ，与传统方法计算结果一致。通过虚力原理，我们巧妙地利用虚力系求出了梁的挠度，避免了复杂的微分方程求解过程。
力学能量原理通过能量的视角将弹性体的受力、变形和平衡条件有机地结合在一起，为解决各类力学问题提供了强大的工具。实能原理基于真实的位移和能量守恒，直接建立外力功与应变能的关系；虚位移原理通过引入虚拟位移，将平衡条件转化为虚功的平衡；虚力原理则从虚拟力的角度出发，为位移分析提供了新的思路。 在实际应用中，读者应根据问题的特点选择合适的能量原理。例如，当已知位移边界条件时，虚位移原理更为适用；而当需要通过力系求解位移时，虚力原理则能发挥独特的优势。通过不断练习和应用这些原理，我们可以更深入地理解弹性力学的本质，提高解决实际工程问题的能力。
