弹性力学那些事之应力状态分析
第一节 空间应力状态分析
外力是物体所受外界作用的力，是引发物体内部应力的 “导火索”。按作用方式划分，外力可分为表面力和体积力。
表面力
表面力通过物体表面传递，其大小用应力衡量，应力定义为单位面积上所受的力。设作用在微小面积 ，上的表面力为 ，则应力 的计算公式为： ,以桥梁为例，强风作用下，桥梁表面不同区域承受的风压不同，这些风压作为表面力，会使桥梁内部产生应力。假设某段桥梁表面受到的风压合力为 以桥梁为例，强风作用下，桥梁表面不同区域承受的风压不同，这些风压作为表面力，会使桥梁内部产生应力。假设某段桥梁表面受到的风压合力为 ，作用面积为 A ,则该区域平均应力 为 ,若应力过大，桥梁结构可能受损。
体积力
分布于物体整个体积内，最常见的是重力。在均匀重力场中，物体单位体积所受重力（即重力体积力） ,其中 为物体密度， 为重力加速度。在大型水利工程设计时，工程师需考虑水体与坝体自身重力产生的体积力，通过计算重力体积力在坝体不同部位产生的应力，来确保坝体结构稳定。
第二节 空间应力状态分析
在许多实际工程问题中，物体应力状态可简化为平面应力状态，即物体仅在一个平面内存在应力，垂直于该平面方向应力为零。对于平面应力状态，引入应力单元体进行分析。单元体上一般存在两个相互垂直方向的正应力 , 和一个切应力 ,通过建立平衡方程和几何方程，可推导得出任意斜截面（与 轴夹角为 上的正应力 和切应力 的计算公式：
以汽车发动机气缸盖为例，工作时燃气压力和螺栓预紧力主要作用于气缸盖平面，厚度方向应力可忽略。工程师利用上述公式，选取不同的值，计算出气缸盖不同截面上的应力，进而确定应力集中区域，对这些部位进行针对性加强设计。通过平面应力状态分析，工程师能够有效简化复杂问题，快速找到关键应力区域。但当问题涉及三维复杂受力时，平面应力状态分析的局限性便凸显出来，此时就需要引入空间应力状态分析，从更全面的维度来剖析物体内部的应力分布。
第三节 空间应力状态分析
在应力状态分析中，主应力和主方向是核心概念。主应力是应力单元体中切应力为零的截面上的正应力，对应的截面方向为主方向。 求解主应力可通过求解应力状态的特征方程：
其中， , , ,为正应力分量, 为切应力分量，且 析空间应力状态时，通过张量运算等数学方法求解应力状态。
以深海潜艇为例，潜艇受海水水平与垂直方向压力，以及结构连接处复杂切应力。利用应力张量公式，结合潜艇实际受力边界条件，计算出潜艇各部位应力张量分量，从而优化潜艇外形与结构设计，保障其在深海极端环境下的安全。分析空间应力状态时，通过张量运算等数学方法求解应力状态。
第四节 主应力与主方向性质定理
在应力状态分析中，主应力和主方向是核心概念。主应力是应力单元体中切应力为零的截面上的正应力，对应的截面方向为主方向。求解主应力可通过求解应力状态的特征方程：
其中：
解此方程得到的三个实根即为三个主应力,以复杂受力的机械零件为例，通过求解特征方程得到主应力，确定零件承受最大和最小正应力的方向，为零件选材与结构设计提供依据。若零件在主应力大的方向强度不足，可通过增加加强筋等措施，提高零件承载能力。
五 应力球张量与应力偏张量
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，有助于深入理解应力对物体的作用效果。
应力球张量
可表示为： 其中 为克罗内克符号（当 时， ,当 时， 它只引起物体体积变化。如橡胶球在均匀水压下，其应力可用应力球张量描述，球体均匀压缩，体积变小但形状不变。
应力偏张量
计算公式为 它与物体形状畸变相关。以橡皮泥为例，不均匀受力时发生扭曲变形，该变形由应力偏张量引起。在金属锻造、轧制等成型加工中，通过分析应力偏张量，可控制金属变形过程，保证产品形状和尺寸精度。
