《Mechanics of Solid Polymers》5.3.7Mooney-Rivlin模型
5.3.7 Mooney-Rivlin模型 Mooney-Rivlin (MR) 模型是NH模型的扩展，通过在单位参考体积的亥姆霍兹自由能中加入对I2*的线性依赖，试图提高预测精度：如方程所示，MR模型的可压缩版本需要三个材料参数：C10、C01和κ。使用方程(5.41)可以证明，Mooney-Rivlin模型的柯西应力表达式为：对于MR模型的不可压缩版本(κ → ∞)，单轴、平面和等双轴变形的柯西应力由以下表达式给出：Mooney-Rivlin模型预测弹性体行为的准确性在图5.15中通过与Treloar[16]的硫化天然橡胶数据对比得到了展示。图5.15 Treloar[16]的实验数据与不可压缩Mooney-Rivlin材料模型预测的对比。 这个图表明，Mooney-Rivlin模型能够改善NH模型的预测。然而，这种改进可能会付出代价——具有负C01项虽然通常能改善一种加载模式下的预测，但同时可能使模型在另一种有限变形下变得不稳定。这种情况的一个例子如图5.16所示。对于不可压缩单轴加载，Mooney-Rivlin材料模型可以用以下Python代码实现：Python代码："MR_incompressible_uniaxial.py"from pylab import *defMR(strain, params):"""Mooney-Rivlin超弹性模型。 不可压缩单轴加载。 此函数使用真实应力和应变""" C10 = params[0] C01 = params[1] lam = exp(strain)return2 * (lam*lam - 1/lam) * (C10 + C01/lam)strain = linspace(0, 0.8)params = [1.0, 0.1]stress = MR(strain, params)plot(strain, stress, 'r-')show()以下代码示例展示了一种实现可压缩单轴加载的Mooney-Rivlin材料模型的方法。这段代码展示了Mooney-Rivlin模型的3D实现和可压缩单轴加载的应用。让我解释一下这两部分代码："Polymer_Mechanics_Chap05.py"中的附加Python代码：这个函数MR_3D实现了3D Mooney-Rivlin模型：defMR_3D(stretch, param):"""Mooney-Rivlin。3D加载由拉伸指定。 param: [C10, C01, kappa]""" L1, L2, L3 = stretch[0], stretch[1], stretch[2] F = array([[L1,0,0], [0,L2,0], [0,0,L3]]) J = det(F) bstar = J**(-2.0/3.0) * dot(F, F.T) bstar2 = dot(bstar, bstar) I1s = trace(bstar) I2s = 0.5 * (I1s**2 - trace(bstar2)) C10, C01, kappa = param[0], param[1], param[2]return2/J*(C10+C01*I1s)*bstar - 2*C01/J*bstar2 + \ (kappa*(J-1) - 2*I1s*C10/(3*J) - 4*I2s*C01/(3*J))*eye(3)"MR_compressible_uniaxial.py"：这个脚本使用上面定义的MR_3D函数来计算可压缩单轴加载下的应力-应变关系：from pylab import *from Polymer_Mechanics_Chap05 import *trueStrain = linspace(0, 0.8, 100)trueStress = uniaxial_stress(MR_3D, trueStrain, [1.0, 0.1, 100])plot(trueStrain, trueStress, 'r-')xlabel('真实应变')ylabel('真实应力 (MPa)')grid('on')show()这段代码计算了一系列真实应变对应的真实应力，并绘制了应力-应变曲线。它使用了之前定义的uniaxial_stress函数（在前面的代码中定义）来计算单轴应力。这个实现展示了Mooney-Rivlin模型如何处理可压缩材料的单轴加载情况。它考虑了体积变化（通过参数kappa），这使得模型更加通用，可以应用于更广泛的材料和加载情况。来源：ABAQUS仿真世界
