有限元知识点重点概括

绪论

有限元法是在连续体上直接进行近似计算的一种数值方法。

有限元方法的提出：在科学技术领域，对于许多力学问题和物理问题。满足的基本方程：常微分方程或偏微分方程定解条件。解析解很难获得，是数值解法的主要工具。

有限元的发展概况：1943年Courant第一次尝试应用定义三角形区域的分片连续函数和最小势能原理求解圣维南扭转问题。1956年Turner、Clough等人在分析飞机结构时将刚架位移法推广应用于弹性力学问题：他们第一次给出了应用三角形单元求平面应力问题的正确解答，他们的研究打开了利用计算机求解复杂问题的新局面。1960年Clough将这种方法命名为有限元法。 1963－1964年，Besseling、Melosh和Jones等人证明了有限元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹分析的所有理论适用于有限元法。

利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别：有限元法假设的近似函数不是在全求解域上规定的，而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以处理任何复杂问题

有限元分类：线弹性有限元法、非线性有限元法（材料、几何、边界）

有限元的分析过程：前处理、分析和后处理。

第一章

梁：一维杆件受到任意力系的作用，既有作用于轴线方向的拉力和压力，也有作用于垂直轴线的剪力和弯矩，这种杆件称为梁，利用梁单元分析。

杆：一维杆件只有轴力作用，称为拉压杆；一维杆件只作用扭矩，这种杆称为轴。拉压杆和轴统称为杆，用杆单元分析。

刚架一般采用梁单元分析，桁架一般采用杆单元分析。

空间杆结构：线位移以坐标轴正向为正，角位移符合右手螺旋法则为正。

梁单元：

ABAQUS约定相关：单元方向：对于线型单元如梁Beam、管Pipe、杆Truss的空间方向，其默认的局部1方向和2方向该单元的切向与横向（其具体方向与结点定义顺序有关），当然也可以通过*Orientation进行修改。

第二章

位移函数的构造：待定参数是由节点场变量确定的，因此待定参数的个数应与单元的自由度数一致。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量取完整性阶数高的多项式以提高单元精度。单元内位移函数必须连续。在单元内，位移函数必须包括常应变项。在单元内，位移函数必须包括刚体 位移项。

满足条件：协调性、完备性。

求解过程（流程图）

第三章

空间问题

单元的选择：共分为8大类：连续体单元（实体单元）、壳单元、薄膜单元、梁单元、桁架单元、刚体单元、连接单元和无限元。

二次完全积分单元：优点：对应力的计算结果很精确，适于模拟应力集中问题

缺点：不能应用于接触问题，对于弹塑性材料，若材料是不可压缩的，容易产生体积自锁。

线性减缩积分单元：优点：位移求解结果比较精确，网格存在扭曲时，分析精度不会受到很大影响，在弯曲载荷下不容易产生剪切自锁。需要注意：需要划分较细的网格克服沙漏问题

二次减缩积分单元：优点：即使不划分较细的网格也不会出现严重的沙漏问题，即使在复杂应力状态下对自锁也不敏感。需要注意：不能在接触问题中使用，不适用于大应变问题，得到节点应力精度不高。

第四章．

轴对称问题：几何形状，所受载荷对称于中心轴，则其变形也对称于此轴。

形函数：插值函数，是坐标的函数，反映单元的位移形态。

第五章‘

二维板件：构件两个方向的尺寸为同一数量级，另一个方向的尺寸小一数量级。

弯曲板：板受到任意载荷的作用，既有面内载荷，又有垂直于板面的载荷，板处于弯曲状态。

平面应力板：板仅受到面内作用的载荷，则板处于平面应力状态。

壳体：由两个曲面限定的物体，两个曲面之间的距离比物体的其它尺寸小得多。

板、壳的几何特点：几何上一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸小很多，且存在中面，中面为平面的称为板，中面为曲面的称为壳。 

处于平面应力状态：薄板小挠度问题应力分量远小于其他分量，并取=0

三维壳单元包括：一般壳单元、薄壳单元和厚壳单元。

壳单元材料方向：壳单元可以使用局部材料方向。各向异性材料的数据，单元输出变量等都可以按局部材料方向定义。

默认的局部材料方向的1和2方向位于壳单元面内，1方向是整体坐标系1轴在壳表面上的投影。如果整体坐标1轴是壳表面的法线，则局部1方向是整体坐标3轴在壳表面的投影。在壳表面上，局部2方向垂直于1方向。则1，2方向和法线形成右手系。

ABAQUS中的所有梁单元都是梁柱类单元——这意味着可以有轴向、弯曲和扭转变形。

Euler-Bernoulli梁假定: 

1)变形前垂直于梁中心线的平截面，在梁受载荷而弯曲变形时仍然保持为平面;

2)变形后的横截面仍垂直于中性层; 

3)横截面上没有任何伸长或缩短，即这些平面为刚性平面。

Timoshenko梁单元还要考虑横向剪切变形的影响

梁单元的选择

对任何涉及到接触的分析，应使用一阶的有剪切变形的梁单元(B21,B31)。

对于结构刚度非常大或者非常柔软的结构，在几何非线性分析中应当使用杂交梁单元( B21H, B32H, 等)。

Euler-Bernoulli三次梁单元 (B23, B33)在模拟承受分布载荷作用的梁，包括动态的振动分析时，会有很高的精度。如果横向剪切变形也很重要，则使用Timoshenko二次型梁单元(B22, B32)。

模拟有开口薄壁横截面的结构应当使用开口横截面翘曲理论的梁单元(B31OS, B32OS)。

位移函数采用有限项多项式选取的原则：单元内位移函数必须连续。在单元内，位移函数必须包括常应变项。在单元内，位移函数必须包括刚体 位移项。位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。

一、材料非线性的问题：

（1）不依赖于时间的弹塑性问题

（2）依赖于时间的黏（弹、塑）性问题

非线性方程组的解法

（1）迭代法只适用于与变形历史无关的非线性问题。

（2）增量法

（3）混合法

本构关系关系：应力应变并非一一对应，非线性。

材料弹塑性行为的描述：

加载方式：

单调加载：

当应力达到屈服应力后，应力不再增加，而材料变形可以继续增加—理想弹塑性材料。

当应力达到屈服应力后，再增加变形，应力必须增加—应变硬化材料。此时，应力和应变的关系

反向加载：对于硬化材料，在一个方向加载进入塑性后，在时卸载，并反向加载进入新的塑性，这时新的屈服应力在数值上与初始的屈服应力不等，也不等于卸载时的应力

循环加载：循环加载是指在上述反向进入塑性变形以后，载荷再反转进入正向，又一次达到新的屈服点和新的塑性变形，如此反复循环。

塑性力学的基本法则：

初始屈服条件：V. Mises条件、Tresca条件

流动法则：流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量硬化法则以及应力分量增量之间的关系

硬化法则：硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数（加载函数或加载曲面）

各向同性硬化法则：规定材料进入塑性后，加载曲面在各方向均匀向外扩张，而其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。各向同性硬化主要适用于单调加载情况

运动硬化法则：规定材料在进入塑性后，加载曲面在应力空间作刚体移动，其形状、大小和方位均不改变

混合硬化法则

加载、卸载准则

温度对本构关系的影响：随温度的升高，屈服极限降低；随温度的升高，材料硬化特性降低，并接近理想塑性；温度对弹性模量、泊松比、线膨胀系数等材料常数有影响；考虑蠕变效应。

弹塑性增量有限元分析在将加载过程划分为若干增量步，对于每一增量步包括三个算法步骤：

（1）线性化弹塑性本构关系，并形成线性有限元方程。

（2）求解有限元方程

（3）积分本构方程决定新的应力状态，检查平衡条件，并决定是否进行新的迭代。

ABAQUS采用Newton-Raphson方法（N-R方法）求解非线性问题：为分析步、增量步和迭代步

弹塑性问题的单元选择

完全积分的二次实体单元对体积锁死非常敏感－－不能用于弹塑性模拟。

完全积分的一次实体单元体积应变是常量，不会产生体积锁死－－可以用于弹塑性模拟。

几何非线性问题：平衡方程和几何条件都是非线性的，采用非线性的平衡方程和几何关系外，还需要引入相应的应力应变关系。

在几何非线性问题的有限单元法中，通常采用增量分析方法

增量分析方法一般采用两种表达格式：完全的Lagrange格式、更新的Lagrange格式

大变形情况下的本构关系：连续介质力学将它们分别称为弹性、超弹性和拟弹性。

大变形问题分为：大位移、大转动和小应变问题、大位移、大转动和大应变问题

接触问题属于不定边界问题（非线性边界问题）

摩擦条件---称为接触面的连接条件。

如果考虑摩擦力，采用载荷增量法分析，离散化后的接触条件如下：分离的节点对、粘结节点对、滑动节点对

表面间的相互作用包括：（1） 垂直于接触面。（2）沿接触面的切向

表面的滑动：小滑动和有限滑动

摩擦：当表面发生接触时，在接触面之间一般传递切向力和法向力

剪应力等于极限摩擦剪应力时，接触面之间才会发生相对滑动。只有当摩擦力对模型有显

著影响时才应该在模型中包含摩擦。

单元的选择：从属表面选用一阶单元。

结构动力学：

处于平衡状态--静力问题

处于非平衡状态--动力问题

动力方程的简化：集中质量矩阵、静力缩聚、主副自由度

直接积分法：中心差分法步骤：初始计算、对于某一时间步长

使用中心差分法应注意：中心差分法是显示算法、中心差分算法的稳定性

模态叠加法的应用

稳态的谐波响应分析

瞬态模态动力学分析

响应谱分析

随机响应分析

ABAQUS中动态问题的分析：

动态分析的主要方法：振型叠加法－－用于线性动力分析。直接积分法－－用于非线性动力分析。

单元的选择：所有单元可用于动态分析，选取原则和静态一致。

阻尼：直接模态阻尼、瑞利阻尼、复合模态阻尼、结构阻尼

网格的划分：网格划分足够细，以保证能计算高频振型的动态响应。

热应力：

平面内的温度只是坐标的函数，称为平面稳定温度场。

第一类边界条件：平面结构的边界上保持给定的分布温度。

第三类边界条件：在边界处与周围介质存在热交换

第二类边界条件：确定结构边界处的温度梯度，称为第二类边界条件

绝热条件：在边界处和周围介质没有热交换。

ABAQUS求解的传热问题：

非耦合传热分析：温度场和应力、应变场或电场之间没有耦合效应。可以分析热传导、强制对流、边界辐射等传热问题。分析类型包括：瞬态或稳态、线性或非线性

顺序耦合热应力分析：应力场和应变场取决于温度场，但温度场不受应力和应变场的影响。分析步骤为：先分析传热问题，然后将得到的温度场作为已知条件，进行热应力分析，得到应力和应变场。传热分析和热应力分析的网格可以是不一样的。

完全耦合热应力分析：应力、应变场和温度场之间有耦合作用，需要同时求解。

绝热分析：力学变形产生热，而且整个过程的时间极短，不发生热扩散

热电耦合分析：求解电流产生的温度场。

顺序耦合热应力分析的步骤：设定材料的线膨胀系数、设定模型的初始温度场、修改分析步中的温度场