有限元中的二维平面单元，也许比你想象的要复杂一点

易木木响叮当

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二维平面单元是有限元中常见的单元类型。其实际上是对三维模型在满足特定受力条件下的一种简化。在符合对应的受力条件下时，采用二维平面应力单元能够大幅度的降低计算量，并且获得准确的计算结果。

常见的二维平面单元包括平面应力单元和平面应变单元。在一些商业有限元软件还包括广义平面应变单元。这里我们只讨论通常意义下的平面应力和平面应变单元。在有限元程序的单元开发中，平面单元的难度可能会被低估，尤其是平面应力单元，其在使用弹塑性和超弹性本构时，均由于其特殊的性质带来了比三维实体单元更大的难度。

（一）单元假定

平面应力单元，指的是应力分量只存在于平面内的单元，比如薄板仅受平面内荷载作用时，其在平面外的应力极小（必须是薄板），此时可用平面应力单元来进行模拟。平面应力单元的应力分量为xx，yy，xy3个分量，但其应变分量并不是3个，而是4个，即xx，yy，xy，zz。即尽管平面应力单元在面外的Z向没有应力，但并不代表其没有应变。

平面应变单元，指的是应变分量只存在于平面内的单元，比如截面相同的的大坝等，在模拟时以大坝的“某一截面”作为平面应变单元来进行模拟。平面应变单元的应变分量为xx，yy，xy3个分量，但其应力分量并不是3个，而是4个，即xx，yy，xy，zz。即尽管平面应变单元在面外的Z向没有应变，但并不代表其没有应力。

从上面的描述看，似乎我们可以得出这样一个概念：所要模拟的平面内受力的物体在厚度方向较“薄”（相对平面内的尺寸）时（如薄板），用平面应力单元模拟，所要模拟的平面内受力的物体在厚度方向非常“厚”（相对平面内的尺寸）时（如大坝），采用平面应变单元模拟。

这个概念虽然比较直观，但是并不总是正确。实际上，采用平面应力还是平面应变，主要在于“面外变形”是否被约束。对于平面应力单元来说，其面外变形必须是“不被约束”的，对于平面应变单元来说，其面外变形必须是“严格被约束”的。比方说，如果一个很薄的平板，其面外被刚性约束，面内受力，此时并不能因为其很“薄”而用平面应力模拟，因为其面外被刚性约束了产生较大的应力，反而可以用平面应变模拟。

在Abaqus中的使用

在Abaqus中，平面应力单元用CPS来表示，平面应变单元用CPE来表示。使用平面应力或者平面应变单元时，在Part模块需要选择2D Planar，然后在Property模块创建实体Section进行指定，这两处确定了采用的是二维实体单元还是壳单元模拟的区分。

同时，在定义Section时，下图中的平面应力/平面应变的厚度也是十分重要的参数。对于平面应力单元来说，这个厚度通常就选择平面应力单元所模拟的实际厚度，对于平面应变单元，这个厚度可能决定了后续在荷载模块需要施加的荷载的大小。

在网格模块，通过选择单元类型选择平面应力/平面应变

本构关系

平面应力单元的本构关系如下：

平面应变单元的本构关系如下：

从上面的列式看，平面应力单元和平面应变单元的本构D矩阵有一定区别，但是实际上，可以通过一定的转换关系实现二者的统一：

通过该表达式，我们统一了平面应力单元和平面应变单元的D矩阵的表达式。

另外，三维实体的本构D矩阵如下：

比较平面应变单元与三维实体单元的本构D矩阵可知，平面应变单元的D矩阵和三维实体的D矩阵十分类似，本质上就是保留三维D矩阵的第1，2，4行列（即xx，yy，xy3个应力分量对应的行列）的值。基于这一点，平面应力单元和三维实体单元是很类似的。因此在开发对应的超弹性或者弹塑性等非线性材料时，也仅仅需要对xz，yz，zz等方向的应变取0即可进行应力更新。

对于平面应力单元，在开发对应的超弹性或者弹塑性等非线性材料时，面外应力分量为0带来了一定的挑战。在abaqus的帮助文档中，你甚至很难看到包含源代码的Umat针对平面应力单元的例子，甚至对于平面应力单元的本构的理论的描述也很少。

对于弹塑性材料，以Mises弹塑性为例，当用于三维实体单元时，Mises应力屈服面在主应力空间是一个圆柱面，圆柱面的好处在于回退映射时为径向映射，其回退时的流动方向与试应力处的流动方向一致。

而对于平面应力单元，由于其Z向应力为0，mises屈服函数为：

这个函数是一个椭圆，本质上是三维屈服面在z为0的平面上的投影，用图形表示如下：

而椭圆形的屈服面在应力回退时，回退方向并不是径向映射的。用图形表示如下：

上图中的椭圆双轴比例变化，表明了不同大小的屈服面，当从面外一点向屈服面做垂线（获取最近投影点，这也是弹塑性应力更新回退映射的实质）时，两个垂线并不重合，即回退映射过程中流动方向是不断变化的。这给平面应力单元的弹塑性推导带来了一定的困难。当然前辈们已经为我们探索好了平面应力单元的弹塑性具体应该怎么实现，后续再发文介绍。

当采用超弹性本构时，对于平面应变单元，Abaqus帮助里已经给出了具体代码：

从注释和具体代码可以看出这个代码并不适合平面应力单元，但是适合平面应变单元，并且，正如本文之前所说，平面应变单元就是三维实体单元取某几个应变为0时的特殊情况。

而对于平面应力单元的超弹性，Abaqus的帮助并没有直接给出具体代码和实现方式。一种常见的方法是用面外应力为0的限制迭代算出平面外的变形梯度再进行应力更新。因此，相对平面应变单元和三维实体单元，平面应力单元的超弹性也是更复杂的。

来源：易木木响叮当