浅谈实时物理仿真（2）：算法优化
本文为《浅谈实时物理仿真》系列的第2篇，共4篇文章，主题分别为：
物理仿真技术概述
算法优化
并行加速
物理AI
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正文
上次提到，为了达到高精度的实时仿真，可以从算法优化、并行加速、物理AI这三个方面实现突破。
本篇介绍了物理仿真中常用的算法优化方法。
什么是算法优化？
算法优化的核心思想：通过各种技术途径降低算法的计算复杂度
下图列举了6个能够降低算法复杂度的方式。
1. 问题简化
核心思想：通过合理的假设来简化仿真问题。
静态/准静态假设：假设系统处于平衡状态或变化极慢，忽略惯性力和动态效应，适用于受力平衡或缓慢加载的场景。
弱耦合代替强耦合：将相互影响的物理场（如流体-结构交互）简化为单向或松散耦合，减少计算复杂度。
刚体假设：忽略物体变形，仅考虑其平移和旋转运动，适用于形状不变的物体。
比如图中示例的多齿轮啮合系统，如果需要分析每个齿轮接触过程中的受力形变，计算量较大。因此假设齿轮是刚体不发生形变，降低齿轮的自由度，进而有效降低计算量。
理想气体假设：假设气体分子无体积且无相互作用力，符合理想气体状态方程（PV=nRTPV=nRT），简化热力学分析。
关节约束假设：将复杂连接（如铰链、轴承）简化为理想约束（如固定旋转轴），避免模拟实际接触摩擦。
材料属性简化：假设材料均匀、各向同性或线性弹性，忽略非线性、蠕变等复杂行为。
忽略次要物理场：排除对结果影响较小的物理场（如仿真机械振动时忽略温度变化）。
连续介质假设：将离散物质（如分子）视为连续体，用宏观参数（密度、应力）描述，适用于流体/固体力学。
稳态/瞬态分离：稳态分析忽略时间变化（如恒定流速），瞬态分析仅关注特定时间段，降低计算量。
线性化：将非线性方程在近似为线性关系，便于求解（如结构仿真中材质、几何、接触过程都是非线性，将材料或变形过程线性化，可简化求解）。
这些假设会与真实情况存在微小差距，通过牺牲部分细节来提升仿真效率，需根据实际问题需求权衡精度与速度。
2.降维
核心思想：降低待求解问题的维度（通俗讲：减小待求解未知量的数量）
谱方法：利用傅里叶级数或多项式等全局基函数，保留主要低频模态，截断高频成分，适合光滑、周期性问题的快速高精度求解。
子空间法：通过PCA或模态分析等提取关键特征向量，构建低维子空间，保留主导物理行为（如结构振动的前几阶模态）。
空间维度缩减：将高维问题简化为低维模型（如3D→2D平面应力、1D梁杆），利用对称性或几何特性大幅减少计算量。
比如图中的面条，长度方向远超横截面半径，可以用一维线单元连接的质点来近似三维的面条，显著降低复杂度降低。
这些方法通过数学或物理层面的维度压缩，在保证关键特征的前提下降低计算成本。
3.时空简化
核心思想：在时间、空间维度上根据需要进行简化
空间自适应采样： 在关键区域（如高梯度、高变形）使用密集网格，其他区域用稀疏网格，平衡精度与计算量。
例如图中的流体仿真，用户更关注边界域附近的运动情况，因此在边界附近精细化采样，用大量粒子计算，内部只用少量粒子，减少计算开销。
层次化时间积分：将系统分解为不同时间尺度的子问题（如快变/慢变部分），分别用不同时间步长求解。
自适应时间步长：根据仿真动态（如速度、加速度）自动调整时间步长，复杂阶段用小步长，平稳阶段用大步长。
例如仿真铅球从空中下落过程，在空中过程无需精细计算，只需要把铅球与地面碰撞发生的瞬间，采用小时间步长精细计算即可。
空间粗化：对非关键区域或远场进行网格合并或降分辨率，减少计算节点数。
多速率时间步长：对耦合系统中的不同部件（如刚体与柔体）采用独立时间步长，避免全局受限于最快动态。
时域降采样：对输出结果或低频物理量（如缓慢变形）减少保存或计算的帧数，降低存储与后处理开销。
这些时空简化方法均是在关键时空区域保持精度，在次要区域牺牲细节以提升效率。
4.数值方法优化
核心思想：通过改进数值求解策略，提升计算速度、收敛性和稳定性。
算子分裂：将复杂微分方程分解为多个简单子问题（如对流、扩散、反应项），分别用最适合的数值方法求解，降低耦合难度。
例如图中的NS方程，是一个复杂的偏微分方程，直接运算难度较大。如果通过算子分裂方法把四项分裂开，分别计算四个简化方程，可以降低计算难度，尽管会存在精度损失，但是通过算法优化，可以将精度损失控制在合理范围内。
预条件技术：对矩阵方程进行变换（如不完全LU分解），使迭代求解器（如共轭梯度法）收敛更快。
稀疏矩阵求解优化：利用矩阵的稀疏性（如非零元素存储、压缩格式），减少内存占用并加速矩阵运算（如乘法、求逆）。
自适应数值积分：根据被积函数的变化（如陡峭、振荡区域）动态调整积分步长或采样点，平衡精度与计算量。
多重网格法：在粗细不同的网格层之间迭代，低频误差在粗网格上快速衰减，高频误差在细网格修正，大幅加速收敛。
低精度计算：使用半精度（FP16）或混合精度（FP16+FP32）运算，牺牲少量精度换取更高计算速度，适合AI加速硬件（如GPU）。
5.创新算法设计
核心思想：提出复杂度更低/计算效率更高/更易并行的创新算法
举例：
1. PBD（Position-Based Dynamics，基于位置的动力学）
经典算法是通过牛顿第二定律，求解物体加速度，对加速度积分求解速度，再对速度积分求物体 位置，需要对物体本构关系和接触外力进行建模。
而PBD算法把材质的本构关系，外力，接触统一建模为物体上的质点位置的约束，直接通过约束调整顶点位置（而非传统基于力的积分），跳过速度/加速度计算，直接求解约束（如距离、弯曲、碰撞），避免复杂的力计算和数值不稳定问题。
2. PD（Projective Dynamics，基于投影的动力学）
PD算法在PBD的基础上进一步改进，通过 隐式优化、能量最小化、稀疏求解 等方法，实现了 更高精度、更大步长和更好稳定性，但牺牲了部分实时性，更适合离线仿真或高保真需求。
两种算法均通过创新性的算法设计避开了传统牛顿动力学的计算瓶颈，提高了实时性。
6.数据结构优化
核心思想：通过设计高效的数据存储与查询结构，减少计算冗余并加速关键操作(如碰撞检测、邻居搜索)
层次包围盒树
作用：通过树状结构（如AABB、OBB）递归划分物体空间，加速碰撞检测和射线追踪。
特点：动态更新成本较高，适合静态或低频变化场景（如光线追踪、刚体碰撞）。
增量式更新结构
作用：仅局部更新变化的数据（如变形体的受影响网格），避免全局重建。
特点：适合高频局部变化的仿真（如柔体、流体），减少计算冗余。
稀疏体素八叉树
作用：用八叉树压缩表示稀疏体素（如烟雾、流体），仅存储非空区域。特点：内存高效，适合大规模稀疏场仿真（如云层、燃烧模拟）。
时间一致性数据结构
作用：利用相邻时间步数据的连贯性（如粒子位置缓存），减少重复计算。
特点：适合连续动画（如粒子系统、布料仿真），提升时间迭代效率。
空间哈希网格
作用：通过哈希函数将空间划分为均匀网格，快速定位邻近物体/粒子。
特点：查询复杂度接近O(1)，适合粒子系统、SPH流体等密集动态场景。
面向GPU优化的结构
作用：设计并行友好的数据布局（如Structure of Arrays, SoA），适配GPU计算。
特点：利用显存带宽和线程并行（如CUDA、Vulkan），加速大规模仿真（如海洋、人群）。
示例：
通过动态更新的空间八叉树将计算资源消耗在重点关注的雪球接触面和表面区域。
这些方法通过数据组织减少计算/内存开销，适配不同仿真场景的需求（精度、实时性、规模）。
