模态分析是如何转换为特征值求解的？

模态分析通过求解结构的固有频率、振型特性，掌握其振动规律。可以说，模态分析是结构动力学分析的基础，有了模态分析，我们就可以在模态分析的基础上进行后续的振型分解反应谱分析，随机振动分析，基于振型叠加的动力时程分析等。

实际上，模态分析的目的，就是求结构固有频率和振型，实际上就是求结构自由振动下的频率和振型。 实际工程中模态分析又可分为自由模态分析和约束模态分析，二者的区别在于是否考虑边界约束条件。

在模态分析的具体求解过程中，最终会转换为一个特征值求解问题，从而求解该特征值方程从而获得特征值和特征向量。求得的特征值和固有频率相关，求得的特征向量，即是振型。

本文主要从自由振动方程出发，介绍如何从自由振动方程转化为特征值方程。

结构自由振动方程：

这是一个二阶齐次线性微分方程组，依据特征方程的解的性质，我们可以把u表示为三角函数的形式（即振动为简谐振动）：

上式中的w为圆频率，将上式代入自由振动方程，可得：

由于上式在任意t时刻均成立，因此

这样，自由振动方程就转换成了上面的特征值方程，我们可以采用特征值的求解方法求得对应的特征值和特征向量。记求得的某一特征值为，

则

上面已经求得了频率，而求得的特征向量即为对应模态下的振型。注意这个振型并不是唯一的，仅仅是各个节点的位移的一个相对比例关系。在商业软件中，通常采用振型归一或者质量矩阵归一的方式将其归一正则化。

以上，即是自由振动方程转换为特征值求解的过程。当然关于模态分析实际上还可以深入的内容有很多，比如特征值求解常见的开源库arpack，lanzos算法，子空间迭代法等求特征值的算法，在后面会逐步介绍。

在本公众 号开发的非线性有限元程序Hanfem中，也提供了模态分析的功能，以下是一些结构的模态分析与abaqus模态分析计算结果的对比：

一阶振型

二阶振型

三阶振型

频率对比：

Hanfem 1.1679041231e+01 3.1302101722e+01 3.1459952026e+01 5.7168140646e+01 5.7337658276e+01 8.6551563981e+01 8.8887264924e+01 8.9037878909e+01 1.0558398326e+02 1.0588267137e+02	Abaqus 11.679 31.302 31.460 57.168 57.338 86.552 88.887 89.038 105.58 105.88

Hanfem 1.0156810593e+02 1.0158982899e+02 1.2199105251e+02 1.2201261693e+02 1.2940457995e+02 1.2942334948e+02 1.6899668684e+02 1.6941711727e+02 1.8417152934e+02 1.8420150663e+02	Abaqus 102.12 102.14 123.47 123.49 129.62 129.64 171.21 171.56 185.11 185.13

以上，即是本文的全部内容，感谢您的阅读！