PINN与机器学习求解偏微分方程

文一： 浸入式边界法摘要：本文研究了浸没边界（IB）方法的数学结构，该方法用于流体-结构相互作用的计算机模拟，特别是在生物流体动力学中。这类问题的IB公式，从最小二乘原理推导而来，既涉及欧拉变量，也涉及拉格朗日变量，由狄拉克-德尔塔函数连接。IB方程的空间离散化基于欧拉变量的固定笛卡尔网格和拉格朗日变量的移动曲线网格。这两种类型的变量通过相互作用方程联系在一起，该方程涉及对狄拉克德尔塔函数的平滑近似。欧拉/拉格朗日恒等式控制数据从一个网格到另一个网格的传输。时间离散化采用二阶龙格-库塔方法。指出了当前和未来的研究方向，并简要讨论了IB方法的应用。简介：浸没边界（IB）方法被引入研究心脏瓣膜周围的流动模式，并已发展成为解决流体-结构相互作用问题的一种普遍有用的方法。IB方法既是一种数学公式，也是一种数值格式。数学公式是欧拉和拉格朗日变量的混合。这些与相互作用方程有关，其中狄拉克-德尔塔函数起着重要作用。在IB公式驱动的数值方案中，欧拉变量定义在固定的笛卡尔网格上，拉格朗日变量定义在曲线网格上，该曲线网格在固定的笛卡儿网格中自由移动，而不受任何约束以适应它。数值格式的相互作用方程涉及狄拉克-德尔塔函数的平滑近似，根据我们将讨论的某些原理构建。本文主要研究IB方法的数学结构。这既包括运动方程的IB形式，也包括IB数值格式。尽管为感兴趣的读者提供了对这些主题的参考，但省略了实现的细节，并且仅以概要的方式讨论应用程序。文二： 鞍点问题的数值解法摘要：鞍点型大型线性系统在整个计算科学和工程中有着广泛的应用。由于它们的不确定性和通常较差的谱特性，这种线性系统对求解器开发人员来说是一个重大挑战。近年来，人们对鞍点问题的兴趣激增，并为这类系统提出了许多求解技术。本文的目的是提出并讨论鞍点形式线性系统的大量求解方法，重点是求解大型和稀疏问题的迭代方法。简介：近年来，大量的工作被投入到解决大型线性系统的鞍点形式的问题。产生这种兴趣的原因是，这些问题出现在各种各样的技术和科学应用中。例如，混合有限元法在流体和固体力学等工程领域的日益普及已经成为鞍点系统(Brezzi 和 Fortin 1991，Elman，Silvester 和 Wathen 2005c)的主要来源。这种兴趣激增的另一个原因是内点算法在线性和非线性优化中的非凡成功，它们的核心需要解决一系列鞍点形式的系统(Nocedal and Wright 1999，Wright 1992，Wright 1997)。由于鞍点系统无处不在的特性，其数值解的方法和结果已经出现在各种各样的书籍、期刊和会议记录中，证明了对这一主题进行全面的调查是合理的。本文的目的是回顾许多最有前途的解决方法，重点是大型和稀疏问题的迭代方法。虽然许多这些解决方案已经开发了具体的应用(例如，斯托克斯类型的问题在流体动力学) ，它是可能的讨论他们在一个相当一般的设置使用标准的数值线性代数概念，最突出的可能是舒尔补。然而，当选择一个预处理(或开发一个新的) ，知识的起源，特定的问题在手头是必不可少的。虽然没有单一的“最佳”方法存在，但非常有效。我们已经为一些重要类别的问题开发出了解决方法因此，用一些空间来讨论出现的鞍点问题在一些选定的应用程序。希望本次调查能够对从业人员有所帮助正在寻求指导，为自己选择一种解决方法数值线性代数和科学计算的研究人员，特别是研究生，作为这个非常丰富而重要的主题。文三： 序列二次规划摘要：自20世纪70年代末推广以来，序列二次规划（SQP）可以说是解决非线性约束优化问题最成功的方法。与大多数优化方法一样，SQP不是一种单一的算法，而是一种概念方法，从中进化出了许多特定的算法。在坚实的理论和计算基础的支持下，商业和公共领域的SQP算法都已被开发并用于解决大量重要的实际问题。最近，已经设计并测试了大规模版本，结果很有希望。文四： 离散力学与变分积分摘要：本文综述了基于离散变分原理的有限维机械系统积分算法。变分技术给出了许多辛格式的统一处理，包括高阶格式，以及离散Noether定理的自然处理。该方法还允许我们以自然的方式包括力、耗散和约束。在作为例子的许多具体方案中，提出了Verlet、SHAKE、RATTLE、Newmark和辛划分的Runge–Kutta方案。简介：本文综述了离散力学和机械积分器的变分方法。这一观点不仅适用于守恒系统，也适用于强迫系统和耗散系统，因此适用于力学中的控制问题（例如）和传统的守恒问题。正如我们将要展示的那样，变分方法对许多关于离散力学和机械系统积分方法的文献给出了一个全面而统一的观点，我们认为这些都是紧密相关的主题。该方法自然产生的一些重要主题是辛-能量-动量方法、误差分析、约束、cing和Newmark算法。除了介绍这些方法外，我们还将这些技术与其他最近令人兴奋的发展联系起来，包括用于非线性波动方程和非线性壳动力学等问题的多辛时空积分器（也称为AVI，或异步变分积分器）的PDE设置。事实上，我们的观点之一是，通过从一开始就将积分器建立在有趣的基本力学概念和方法的基础上，可以简化到其他领域，例如连续体力学和具有强迫和约束的系统。在过去的几年里，这门学科已经发展成为一个非常庞大和活跃的研究领域，有很多观点和主题。我们将在这里集中讨论我们自己的观点，即变分观点。当然，我们必须省略一些重要的主题，但包括我们自己的几个主题。在本文的最后部分和下面的简史中，我们确实接触了一些但不是全部的其他主题。正如在标准力学中一样，有些事情从哈密顿的角度来看更容易，而另一些事情从拉格朗日的角度来看则更容易。从这两种观点来看辛积分器可以更深入地了解它们的性质和导数。我们试图在这篇文章中给出一个平衡的观点。我们将假设配置流形是有限维的。这意味着，在一开始，我们将处理普通微分方程的上下文。然而，正如我们所指出的，我们的方法与变分时空多辛方法密切相关，这是一种适用于无限维PDE上下文的方法，因此对本文方法论的投资可以简化到相应PDE上下文。文五： 反问题: 贝叶斯视角摘要：微分方程中的反问题具有巨大的实践意义，也产生了大量的数学和计算创新。通常需要某种形式的正则化来识别不适定行为。在这篇文章中，我们回顾了正则化的贝叶斯方法，发展了一个关于这个主题的函数空间观点。这种方法允许对所有可能的解决方案及其相对概率进行全面表征，同时迫使重要的建模问题以明确和精确的方式得到解决。尽管实现起来很昂贵，但在许多应用领域，这种方法开始处于可用计算资源的范围内。它还允许对不确定性和风险进行量化，而这些应用程序越来越不需要这种量化。此外，该方法在概念上对于理解更简单、计算方便的反问题方法很重要。我们证明，当以贝叶斯方式表述时，各种反问题都有一个共同的数学框架，我们高度重视由此产生的适定性理论。适定性理论为我们描述的许多稳定性和近似结果提供了基础。我们还回顾了在采用贝叶斯方法求解逆问题时使用的一系列算法方法。其中包括MCMC方法、滤波和变分方法。简介：数学科学家面临的一个重大挑战是开发一个连贯的数学和算法框架，使研究人员能够将复杂的数学模型与（通常是庞大的）数据集相结合，这些数据集现在在工程、科学和技术的许多领域都是常见的。在这篇文章中，我们用贝叶斯统计学的语言提出了一系列反问题，主要是由微分方程和数据的结合引起的。这样做的目的有两个：（i）突出从业者在过去几十年中取得重大进展的众多应用领域中产生的共同数学结构，从而促进不同应用领域之间的思想交流；（ii）为问题开发一个抽象的函数空间设置，以评估现有算法的效率，并开发新的算法。应用范围广泛，包括大气科学、海洋学、水文学、地球物理学、化学和生物化学、材料科学、系统生物学、交通流、计量经济学、图像处理和信号处理等领域。本文中贝叶斯反问题子主题具体发展的指导原则是避免离散化，直到最后可能的时刻。这一原理在整个数值分析中都具有巨大的力量。例如，由于传播速度有限，一阶波动方程不能在任意小的时间内控制到给定的最终状态。然而，一阶波动方程的每一个有限差分空间离散化都会产生一个常微分方程的线性系统，该系统在任何有限时间内都可以控制到给定的最终状态；在离散化之前提出可控性问题是理解的关键（Zuazua 2005）。作为另一个例子，考虑热平衡。如果这是通过θ方法在时间上离散的（其中θ∈[0,1]和θ=0是显式欧拉，θ=1是隐式欧拉），但在空间上不离散，则函数空间上的所得算法仅定义为θ∈[1，1]；因此可以推断出，如果θ∈[0，1，则必然存在Courant限制2）（Richtmyer和Morton 1967），甚至在引入空间离散化之前。在牛顿方法的研究中可以找到另一个例子：在离散化之前，该算法在函数空间上的概念应用，当将其作为非线性微分方程边值问题的迭代方法时，可以产生相当大的见解（Deuflhard 2004）。将解密推迟到算法公式的最后是有益的问题列表，几乎是无穷无尽的。因此，同样的想法在反问题的求解中产生了洞察力，我们在贝叶斯环境中证实了这一想法，这也许并不奇怪。来源：STEM与计算机方法