大模型辅助的物理机器学习PINN培训

培训重点

本课程致力于打通物理建模、数值计算与深度学习的知识壁垒，培养具备理论与工程能力的复合型人才，推动智能科学计算在工业4.0和数字孪生等前沿领域的创新应用。

培训目标

1. 理解PINN与传统数值方法的核心原理，掌握各类物理方程（如Navier-Stokes、弹性本构方程）的数学基础。

2. 学习PINN及其变体（如深度能量法）的实际编程与应用，独立完成典型物理问题的求解代码

3. 探索PINN在流体力学、固体力学、反问题等多领域的工业级应用，体验其对各类物理现象的通用建模能力。

4. 熟练使用主流PINN开源工具链，结合大模型辅助编程，提升微分方程求解与代码开发效率。

5. 培养跨学科创新能力，通过论文复现与案例分析，拓展AI4Science在科研与工程中的应用视野。

适合人群

1、学习固体力学、流体力学的科研人员

2、计算力学、工业仿真、AI辅助设计等领域的科研人员

培训场次

名称	讲师	讲师介绍	授课方式	增值服务	时间
名称 11月13-14、20-21	直播面授4天	增值服务	时间长期招生

培训简介

Day 1 真正理解微分方程（手推固体、流体、热传导方程）+ 传统数值方法 + 手把手入门Python

1. 手推固体、流体、热传导方程

1.1. 传热学的偏微分方程

1.1.1. 稳态热传导

1.1.2. 瞬态热传导

1.2. 固体力学的偏微分方程

1.2.1. 平衡方程

1.2.2. 弹性本构

1.2.3. 塑性本构

1.3. 手推纳维斯托克斯方程

1.3.1. 不可压缩纳维-斯托克斯方程

1.3.2. 无黏、无旋的势流方程

1.3.3. 忽略黏性效应的欧拉方程

1.4. 偏微分方程分类

1.4.1. 椭圆偏微分方程

1.4.2. 抛物偏微分方程

1.4.3. 双曲偏微分方程

2. 偏微分方程数值解：有限差分法、有限单元法

2.1. 理解有限差分法理论

2.2. 理解有限单元法理论

2.3. 软件实战：使用COMSOL求解固体力学和渗流，保存数据

2.4. 软件实战：使用Abaqus求解弹塑性固体力学，保存数据

3. 手把手入门Python和机器学习

3.1. 如何运行自己的第一个python程序

3.2. 常用科学计算库：Numpy和Scipy

3.3. 机器学习的万能python库：scikit-learn

3.4. 如何在Ubuntu系统上运行python程序

4. 机器学习基本算法

4.1. 线性回归、逻辑回归

4.2. 决策树，KNN，K-means

4.3. 支持向量机等

Day 2 深度神经网络与PINN

5. 数据驱动深度神经网络

5.1 激活函数

5.2 神经元

5.3 自动微分方法

5.4 损失函数的构建与正则化

5.5 最优化方法

5.6. 实践：基于Pytorch建立深度神经网络模型并调优

6. 深度学习进阶

6.1 卷积神经网络CNN

6.2 循环神经网络RNN（LSTM）

6.3. 图神经网络GNN

6.4. Transformer （Attention is all you need！）

7. PINN=数据+物理方程

课程以一维谐振子的物理信息神经网络（PINN）构建为核心目标，系统阐述如何将物理定律与深度学习相结合，实现微分方程的高效求解与物理系统建模。课程首先从一维谐振子的动力学方程切入，深入解析PINN的基本原理：利用神经网络隐式表达控制方程及初始/边界条件等物理约束，将微分方程的求解过程转化为损失函数优化的机器学习任务。学习过程中，学员将逐步掌握谐振子问题的数学建模方法，并通过Python及主流深度学习框架（如PyTorch）搭建神经网络结构，设计融合数据驱动项与物理残差项（如运动方程残差）的复合损失函数，借助自动微分技术计算高阶导数，实现模型从随机初始化到符合物理规律的自洽训练。

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8. 物理信息神经网络：一个用于解决涉及非线性偏微分方程的正问题和逆问题的深度学习框架，一万三千次引用的论文讲解和复现

PINN开山之作：Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations

本节将深入解析PINN这一创新性框架，如何通过深度融合物理定律与深度学习，有效解决复杂偏微分方程（PDE）的正问题与反问题。作为计算科学领域的里程碑，PINN首次系统地将控制方程、初始和边界条件等物理先验嵌入神经网络架构，通过构建包含PDE残差、数据拟合和边界约束的多目标损失函数，实现了无需网格离散的端到端微分方程求解。其利用自动微分技术高效计算高阶导数，突破了传统数值方法在高维、强非线性和参数反演等问题上的瓶颈。课程内容将从数学原理和代码实践两个层面展开：理论部分，讲解PINN如何借助神经网络的万能逼近能力构建连续时空解空间，分析在正问题（中物理残差最小化的泛化性能，以及在反问题（如材料参数辨识、物理规律发现）中PDE系数的可微学习机制。实践部分，将基于PyTorch或TensorFlow框架，手把手实现PINN原型系统，包括网络架构设计（如激活函数选择、隐层深度优化），并通过Burgers方程的激波捕捉和Navier-Stokes流场重构，对比PINN与传统高精度数值方法的表现。图片2.png

9. 深度能量法：概念、实现和应用

深度能量/深度里兹法物理数据双驱动网络 Deep energy method/Deep Ritz method，DEM，DRM，中科院一区TOP数值计算顶刊CMAME：An energy approach to the solution of partial differential equations in computational mechanics via machine learning: Concepts, implementation and applications

本小结围绕能量原理驱动的机器学习方法在计算力学偏微分方程求解中的创新应用展开，重点探讨如何将经典力学中的能量变分原理与深度学习技术相结合，打造高效的物理驱动求解框架。作为计算力学与人工智能融合的典型方法，该框架以能量泛函为核心，利用神经网络直接参数化力学场（如位移场或应力场），将传统基于网格的能量离散优化转化为无网格的损失函数优化过程。课程内容从理论角度分析能量极小化原理与深度学习优化目标之间的数学一致性，例如，通过直接最小化总势能泛函，有效规避了有限元法在复杂几何和材料非线性问题上的离散化难题，并借助自动微分技术实现能量泛函梯度的高效计算。在实践层面，本小结系统讲解能量驱动损失函数的设计方法，包括如何融合应变能主导的物理约束与边界条件。通过弹性力学静动态问题、超弹性材料大变形等典型案例，课程将能量方法与纯数据驱动模型及传统数值方法进行性能对比，验证其在预测精度、计算效率和外推能力方面的显著优势。

Day 3 PINN流体力学 + Nature子刊

11. 中科院一区论文与代码复现：渗流，科学发现与不确定性

中科院一区顶刊论文复现，A physics-informed data-driven approach for consolidation ****ysis

在许多实际问题中，能够从数据中识别控制方程并求解以获得时空响应是非常理想但也极具挑战性的。数据驱动建模在复杂过程中的知识发现方面展现了巨大潜力。为验证这一思路，本研究提出了一种基于物理信息的数据驱动方法，能够从测量数据中自动恢复渗流理论并获得相应解。该方法融合了多种算法，包括稀疏回归、基于物理先验的神经网络（PiNet）、变换后的弱形式偏微分方程（以降低对噪声数据的敏感性）以及蒙特卡洛dropout，用于实现预测不确定性的量化。结果显示，该方法能够准确提取固结偏微分方程，并对噪声测量具有良好的鲁棒性。PiNet求解得到的偏微分方程与实际结果高度一致，进一步证明了其在逆分析中的应用潜力。该方法具有通用性，为数据的启发式解释提供了辅助工具，也能直接识别模式并获得解，无需专家干预。

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12. 物理信息网络求解不可压缩层流的深度学习问题

近年来，基于物理的深度学习方法在计算物理领域受到广泛关注，其核心思想是将物理定律嵌入神经网络，以约束和指导模型训练，从而显著减少对大量数据的需求。这一目标通常通过将物理方程的残差纳入损失函数实现，网络通过最小化损失函数来逼近问题的解。本文提出了一种针对流体动力学的物理信息神经网络（PINN）混合变量方案，并应用于低雷诺数条件下的稳态和瞬态层流模拟。参数分析显示，混合变量方案能够提升PINN的可训练性和求解精度。进一步将PINN预测的速度场和压力场与参考数值解进行对比，结果表明该方法在高精度流体流动模拟方面展现出显著潜力。

https://github.com/Raocp/PINN-laminar-flow/blob/master/PINN_steady/SteadyFlowCylinder_mixed.py

13. CMAME顶刊：考虑因果关系的流体力学PINN改进（Jax）

中科院一区TOP数值计算顶刊CMAME：Respecting causality for training physics-informed neural networks

虽然物理信息神经网络（PINN）的应用日益广泛，但迄今为止，PINN尚未成功模拟那些解具有多尺度、混沌或湍流特征的动力系统。本研究将这一局限归因于现有PINN方法未能充分考虑物理系统演化过程中固有的时空因果结构，这一根本缺陷也是导致PINN模型收敛到错误解的主要原因。为解决这一问题，本文提出了一种对PINN损失函数的简化重构，使其能够明确反映模型训练过程中的物理因果关系。结果表明，仅通过这一简单修改，就能显著提升模型精度，并为评估PINN收敛性提供了实用的定量方法。我们还展示了在一系列以往PINN方法难以处理的基准问题上的最新数值结果，包括混沌洛伦兹系统、混沌Kuramoto-Sivashinsky方程以及Navier-Stokes方程。这一突破首次实现了PINN对此类复杂系统的成功模拟，为其在工业复杂问题中的应用开辟了新前景。

14. 有限差分法编码神经网络，nature 子刊精讲

Encoding physics to learn reaction–diffusion processes

12.1. 物理编码时空学习

12.2. PDE系统的正演分析

12.3. PDE系统的反演分析

12.4. PeRCNN的结构

12.5. ∏块的普适多项式逼近

12.6. 方程发现与强泛化能力

Day 4 PINN固体力学 + PINN库 + 大模型编程

15. PINN和深度能量法的对比

中科院一区TOP数值计算顶刊Computers and Geotechnics: A Comprehensive Investigation of Physics-Informed Learning in Forward and Inverse Analysis of Elastic and Elastoplastic Footing

10.1. Footing问题背景与Ritz方法（正问题）

- 问题背景：Footing问题的物理意义与工程应用

- 数学模型：Footing问题的数学描述与控制方程

- Ritz方法：Ritz方法在正演建模中的应用与实现

- PINN框架：论文中PINN实现的核心思路与框架解读

10.2. Footing问题的逆问题求解

- 损失函数构建：PINN中物理驱动损失函数的设计与实现

- 自适应采样：自适应采样方法的原理与实现细节

- 指数加速：逆问题求解中的指数加速技术

- 代码复现与结果分析：代码实现与结果分析（数据集大小、高斯噪声的影响）

16. JCP顶刊：混合能量法解决固体力学的应力集中问题

计算力学顶刊Journal of Computational Physics：The mixed Deep Energy Method for resolving concentration features in finite strain hyperelasticity

物理信息神经网络（PINN）的发展，激发了人们对深度神经网络作为固体力学偏微分方程通用近似器的浓厚兴趣。近期提出的深度能量法（DEM），以能量最小化原理为基础，与依赖PDE残差的PINN方法形成鲜明对比。DEM的一大优势在于仅需近似低阶导数，相较于强形式残差公式更加简便。然而，无论是DEM还是传统PINN，在处理固体力学应用中应力场和位移场的精细特征（如应力集中）时仍面临挑战。为更好地捕捉有限应变超弹性中的这些细致特征，本文对深度能量法（DEM）进行了扩展，提出了混合深度能量法（mDEM）框架。该方法在纯位移公式基础上，将应力测量作为神经网络的额外输出，从而能够更准确地近似Neumann边界条件，并提升对空间高浓度特征的模拟精度。为增强方法的通用性，研究还引入了基于Delaunay积分的数值积分方案，使mDEM能够适用于具有应力集中（如孔洞、凹口等）的计算域，并支持随机训练点分布。本文不仅突出展示了所提出方法的优势，同时对比了经典PINN和DEM公式的局限性。在涉及复杂几何和集中载荷的计算实验中，mDEM在正向计算方面实现了与有限元法（FEM）相当的精度，同时为超弹性问题下的逆分析和参数估计提供了独特的解决能力。

17. PINN库：SciANN讲解与实操

SciANN是一个高级人工神经网络API，使用Keras和TensorFlow后端用Python编写。它的开发重点是实现不同网络架构的快速实验，并强调科学计算、基于物理的深度学习和反演。能够用几行代码开始深度学习是做好研究的关键。

18. PINN库：DeepXDE讲解

本节课程以深入掌握开源物理信息神经网络库DeepXDE为核心，系统讲解其在一维到多维偏微分方程求解中的高效应用。内容涵盖从环境配置和基础API入门，详细介绍如何利用DeepXDE快速构建PINN求解框架：包括定义计算域几何（如Interval、Rectangle等）、设置PDE残差方程（通过Lambda函数或自定义微分算子）、编写初始和边界条件（Dirichlet、Neumann），以及配置神经网络结构（包括深度、激活函数和权重初始化策略）。