数值微分|多项式的导数计算C++版

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在数值积分推导辛普森公式时就是将函数插值成为多项式形式，原因在于多项式的简洁。任何初等函数都可以用泰勒公式展开成多项式的形式，然后在多项式的基础上作求导运算。也可以用别的插值方法，比如拉格朗日插值，样条插值，埃尔米特插值等等。

如果作为一组离散数据点给出，则插值会非常有效。通常建议将多项式的阶数应该小于6，以避免振荡。

/*C++定义多项式就是将多项式系数保存在一个容器vector中，比如将 1 + x + 2xˆ2 + 3xˆ3 + 4xˆ4 定义为vector<double> p{1,1,2,3,4}*/

四阶多项式

可写成

令

这里，一样。对于次多项式

有以下递推式

两边对求一阶导，得

对求二阶导，得

以上过程就体现了多项式的简洁。

CPP代码：

/*p = a[0] + a[1]*x + a[2]*xˆ2 +...+ a[n]*xˆn计算多项式p的一阶导数dp以及二阶导数ddp*/#include <iostream> #include <vector>class Polynomials{public:  Polynomials() = default;  Polynomials(std::vector< double > a_) : a{a_}  {  }  void evalPolynomials(double x){    double p = a.back();    double dp{ };    double ddp{ };    for(size_t i{1}; i<a.size(); ++i )    {      ddp = ddp * x + 2.0 * dp;      dp = dp * x + p;      p = p * x + a[a.size()-1 - i];    }        std::cout << "多项式在x=" << x << "处的函数值为:   " << p << std::endl;        std::cout << "多项式在x=" << x << "处的一阶导数为:" << dp << std::endl;        std::cout << "多项式在x=" << x << "处的二阶导数为:" << ddp << std::endl;   }private:  std::vector< double > a{};    //多项式的系数  };//分割线，以上定义多项式类Polynomialsint main(){  std::vector< double > a{ 1,1,2,3,4 };Polynomials pol(a); //创建多项式对象pol = 1 + x + 2xˆ2 +3xˆ3 + 4xˆ4  pol.evalPolynomials(2.2); return 0;}