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球面上的最优传输和微分几何

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纽约金秋,海水澄澈,天空湛蓝。午后的阳光遍洒金辉,秋风袭掠之后,始见落叶飘零。虽然秋高气爽,心情振奋,但是寒意渐起,莫名的忧伤总是挥之不去。学期伊始,很多新生入学,朝气蓬勃,青春洋溢。看着他们,令老顾不禁怀念起当年入学的情形。


Scarborough Fair


当时的清华园文艺气息非常浓厚,经常有各种音乐会、个人演唱会。每天夜晚东大操场上都有人在演练吉他弹唱。每天下午团委和文艺社团排练室都传来阵阵琴声,单簧管、双簧管、长笛等乐器混杂成厚重的织体,间或被长号、小号的高音所撕裂。一天傍晚,金得哲、李雪松在主楼后厅举行演唱会,他们演唱了Simon和Garfunkel的 《斯卡布罗集市》(Scarborough Fair)感人至深。歌曲旋律优美动听,歌词伤感婉约,吉他配器飘逸悠远,Simon和Garfunkel的和声浑然一体,动人心弦,堪称民谣中的经典。后来,老顾和乐队朋友郝佳良、陈皓无数次演奏过这首乐曲。郝佳良用激越嘹亮的小号吹出了醇厚柔美的感觉,陈皓单簧管的音色更是纯净无暇,令人感伤。到了博士阶段,老顾和清华乐队的朋友经常在麻省理工排练,曾经用高音萨克斯来演奏“Scarborough Fair”,但总觉得Soprano Saxophone华丽绚烂的音色,无法表达这首乐曲所蕴藏的怅惘和忧伤。再后来,老顾到纽约工作,经常到中央公园游览。Simon和Garfunkel曾经分道扬镳,后于1981年复合,在中央公园举行了一场免费音乐会。在夕阳西下、皓月初升之际,这对搭档再次演唱了这首老歌,成为永恒。


“Scarborough Fair”一唱三叹,每句歌词之后,都要加上一句叹惋“Parsley,Sage,Rosemary and Thyme”,翻译过来就是“荷兰芹、鼠尾草、迷迭香和百里香”,四种香料的名称,这令老顾大惑不解。后来,老顾游览Scarborough fair的所在地,英格兰的约克郡。和纽约(New York)相比,具有两千年历史的约克郡(old York)古老阴郁,历史文化极其厚重。这里的惠特比修道院(Whitby Abbey)是吸血鬼的诞生地;约克大教堂(York Minister)是北欧最大的哥特式教堂,具有多层地基。历史上罗马人、诺曼人、维京人、盎格鲁-萨克逊人曾经多次征服过这片土地,他们摧毁被征服者的教堂,在原址上重建自己的教堂。斯卡布罗集市曾经是北欧海盗维京人敛财销赃的据点,游吟诗人在集市上即兴创作,脍炙人口的民谣流传下来,从而启迪了保罗西蒙和葛芬柯。老顾询问当地的一位教授朋友,“荷兰芹、鼠尾草、迷迭香和百里香”的含义。教授朋友给老顾解释了一段惨痛的历史掌故。1347年,穆斯林和热那亚的基督徒殖民者之间爆发了战争。战争中,穆斯林军队爆发了黑死病。穆斯林军将病者装上了弹射器,投射到热那亚城中。恐惧的热那亚人逃回了意大利,引发了全欧洲的瘟疫。黑死病夺去了欧洲几乎一半的人口,使得人们对教会和信仰大失所望。瘟疫中却有一群盗徒穿行于死亡遍布的街市,大肆偷盗。当他们被逮捕后交待了抵御瘟疫侵袭的秘方,其中主要的成分就是荷兰芹、鼠尾草、迷迭香和百里香。由此,历史上留下了“四贼醋”的大名:Parsley,Sage,Rosemary and Thyme。由于瘟疫的恐怖,人们用将这一秘方广泛传播,演化成民谣中起兴的咒语。“Scarborough Fair”的歌词居然有如此惨烈的文化背景,民族战争,宗教战争,瘟疫黑死病,宗教改革,难怪有一种难以名状的哀伤和凄美。数百年之后,这些历史的伤痕被岁月抚平,惨痛的记忆被转化成优美的旋律和典雅的歌词。虽然人类文明提升到了古人难以想象的高度,医疗日益发达,科学日益昌明,但是宗教战争、全球性瘟疫的阴影依然挥之不去。


最优传输


老欧洲的文化传统中,最为纯粹和厚重的当属数学。人类几乎出于先天的本能就会欣赏音乐。对于数学的品鉴却需要长期的专业训练。但是从带给人们的美学价值和精神震撼程度而言,数学更为崇高、激烈和持久。自从法国数学家蒙日在十八世纪初叶开启了最优传输理论的研究,数百年来无数的纯粹数学家、应用数学家、计算机科学家、工程师都为这一理论而心醉神迷,从各个角度为这一理论的发展做出了贡献。纯粹数学家证明了解的存在性、唯一性和正则性;应用数学家设计迭代格式,证明收敛阶,误差估计,数值稳定性;计算机科学家设计数据结构,并行算法,提高算法鲁棒性和效率;工程师用来进行图像增强,病理分析,统计推断,生成模型,设计光学器件等等。由于社会分工和职业训练,很少有人能够透彻理解这一理论上下游的全景,只能专注于相对局限的一部分理论或算法。例如纯粹数学家呕心沥血发展出来的各种先验估计的技巧,对于绝大多数的计算机科学家而言无法直接应用,因而缺乏动力去钻研,由此也错过了领略深层次美感的机会。近期,由于最优传输理论日益成为深度学习的理论基础之一,整个社会对于最优传输理论的学习热情日益高涨,相信最优传输理论和蒙日-安培方程理论会逐渐深入人心,在工程医疗领域发扬光大。


最优传输映射在度量空间,特别是黎曼流形上依然存在,但是其正则性分析相对困难。球面上的最优传输理论比较成熟,但是目前在工程领域应用不多。相信依随三维打印技术的成熟,球面最优传输理论终将大放异彩。这里,我们讨论球面最优传输理论的一个经典应用:由曲率来构造曲面,即凸几何中的Weyl problem,Minkowski problem和Alexandroff problem。


凸几何经典问题


由微分几何的经典理论,三维空间中的曲面由第一基本形式(黎曼度量)和第二基本形式共同决定。黎曼度量决定了曲面的内蕴几何,可以测量曲面上曲线的长度,曲线间的夹角,区域的面积,同时也决定了曲面的高斯曲率。第二基本形式决定了曲面的主曲率,平均曲率。但是对于凸曲面而言,仅仅黎曼度量就决定了曲面在三维空间中的嵌入。


图1:源球面,高斯球面,凸曲面。


image.png


Minkowski问题


image.png

图2:离散Minkowski问题。


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Alexandrov问题


image.png

由Kontarovich对偶理论,这等价于优化下面的能量:

image.png

就是Kontarovich问题的解。

我们仔细理解下面的等式:

两边取指数映射,我们得到

image.png


我们下面讨论Alexandrov问题的离散提法。给定离散点集

和相应的目标曲率

满足

我们求极径

得到点集

凸多面体P(p)是这些点的凸包(convex hull)。


调节极径,使得P(p)的离散高斯曲率满足

所谓高斯曲率就是过顶点所有支撑平面的法向量集合的球面面积。


对于任意的顶点xi,我们构造平面

这些平面的内包络为

内包络向单位球面进行球心投影,得到球面的胞腔分解:

image.png

得到球面的power diagram:

image.png


进一步,我们可以用变分法来求解,优化下面的凸能量

,

优化可以用牛顿法来进行。得到满足条件的power diagram之后,离散最优传输映射将每个胞腔映到相应的样本点:

 

具体计算细节,请参阅【1】。


图3:斯坦福兔子。


图4. 斯坦福兔子共形映射到单位球面上。

图5. 斯坦福兔子的球面最优传输。


图3是斯坦福兔子曲面,我们将其共形映射到单位球面上(图4),这样共形映射将兔子的面元推前到单位球面上,得到一个测度。球面上的面元作为目标测度。我们用Alexandrov问题的解法计算了这两个测度之间的最优传输映射(图5)。

图6. Gargoyle模型。

图7. 怪兽的共形映射。

图8. 球面的最优传输映射。


我们用怪兽的模型进行了同样的实验(图6-8)。



对于连续情形的Alexandrov问题,我们可以用一系列离散Alexandrov问题的解来逼近连续解。


图9. Max Planck的头像,和解Alexandrov问题所得的凸曲面。

图10. 共形映射的像和最优传输映射的像。


图9左帧显示了Max Planck的头像。我们将头像曲面共形映射到单位球面上(图10左帧),计算推前曲面面元和球面面元之间的最优传输映射(图10右帧),并且求得推前曲面面元所决定的凸曲面(图9右帧)。


Weyl问题


image.png


小结


这里,我们介绍了球面最优传输理论,并且将其应用于微分几何的经典问题,Minkowski问题、Alexandrov问题和Weyl问题。Minkowski,Alexandrov和Weyl从不同的角度研究了如何从凸曲面的黎曼度量、高斯曲率来决定曲面的嵌入。这里介绍的方法可以直接推广到任意维的空间。


(写于UC Davis, Berkley和USC)

【1】L. Cui, X. Qi, C. Wen, N. Lei, X. Li,M. Zhang and X. Gu, "Spherical Optimal Transport", CAD Volume 115, Pages 181-193.


作者:【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家,应用数学家,理论物理学家和计算机科学家,讲授现代拓扑和几何的理论,算法和应用。

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首次发布时间:2020-01-10
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