橡胶疲劳 ≠ 金属疲劳 第1部分：平均应变效应
橡胶和金属的力学行为有非常大的差异，我们首先可以从平均应变或应力对材料疲劳性能影响的角度来分析这种差异。
图1显示了几个典型的等幅应变循环，每个循环都处于不同的平均应变水平。在循环疲劳试验中，如果施加的应力幅度等于平均应力，我们把这种情况称为脉冲载荷循环或全松弛载荷循环。如果平均应力为零，我们把这种情况称为完全反转的拉伸/压缩加载循环。如果最小应力总是正的，则称为非全松弛载荷循环（即试样总是处于加载状态）。非全松弛载荷循环在应用中很常见，例如：在安装过程中对产品施加了预载荷；衬套在模压过程中产生的压缩预应力、过盈配合、由于热膨胀/收缩而产生的内应力；以及在轮胎中，帘线的形状记忆效应。
图1. 在三种不同的平均应变下的恒定振幅加载循环
在金属疲劳分析方法中，通常以应力幅度σa和平均应力σm相对于屈服应力σy和极限应力σu的大小来定义应力均值效应对金属材料疲劳行为的影响。如图2所示。当加载应力处于疲劳阈值应力σ0以下时，材料具有无限寿命。Haigh图（或Goodman图）（图2左）将疲劳寿命绘制为这些变量的函数[1]。Wohler曲线（图2右）提供了类似的信息。对于金属材料，有一个普遍适用的简单规则：增加平均应变将降低疲劳寿命。通常还假设金属的潜在疲劳开裂面垂直于最大主应力方向。
图2. 显示平均应变对金属疲劳寿命影响的Haigh图（左）和Wohler曲线（右）
橡胶材料与金属材料有许多不同之处
1.在原子尺度上
橡胶由长链分子组成，这些分子经历恒定的热运动，同时以永久的网络拓扑结构相互连接。这种结构允许发生大的弹性/可逆应变。而金属则完全不同，它们以单个原子的形式存在于有序的晶体中，偶尔会出现位错或晶格空位。在非弹性变形发生之前，这种结构仅允许极小的应变。
2.在介观尺度上
橡胶通常是一种含有填料（如炭黑、二氧化硅或粘土）以及其它化学成分的复合材料。而金属的介观尺度通常用晶粒边界和夹杂物或空隙来描述。橡胶表现出许多在金属中看不到的“特殊效应”，例如：速率和温度依赖性、老化特性、循环软化特性。基于这些因素，橡胶的分析方法与金属的分析方法有很大不同，这并不奇怪。
橡胶的疲劳性能与平均应变的关系更为复杂。对于无定形（即非结晶）橡胶，与金属材料一样，增加平均应变会降低疲劳寿命。但是，对于表现出应变诱导结晶的橡胶，平均应变的存在可能会大大增加疲劳寿命，如图3所示。因此，橡胶的疲劳仿真必须考虑材料的应变结晶效应。
图3. 在恒定振幅下进行的简单拉伸疲劳试验表明，增加载荷均值后，有应变结晶的天然橡胶（NR）的寿命显著增加，而无定形的丁苯橡胶（SBR）的寿命减少[2]。
在Endurica疲劳仿真分析软件中，基于橡胶材料的断裂力学行为，通过定义等效全松弛撕裂能Teq来描述材料的平均应变效应。当全松弛载荷对应的撕裂能产生与非松弛条件下撕裂能相同的裂纹扩展速率时，则称此时的全松弛撕裂能为等效撕裂能。
对于无定形橡胶，等效的全松弛撕裂能Teq等于撕裂能幅值ΔT，ΔT=Tmax-Tmin，也可以用R=Tmin/Tmax来描述平均应变效应。将该规则代入到幂律裂纹扩展速率函数中，即可得到众所周知的Paris模型，由该模型可以预测出，当平均应变增加时，材料的裂纹扩展速率会加快。
对于应变结晶橡胶，可以使用Mars-Fatemi模型来定义等效全松弛撕裂能。在这种情况下，等效全松弛撕裂能取决于函数F(R)，该函数通过定义裂纹扩展速率模型的幂律斜率，来描述应变结晶效应对材料疲劳的影响。无定形橡胶和结晶橡胶的关系总结在表1中[3，4]。
表1. 计算无定形和应变结晶橡胶中裂纹扩展速率的模型
橡胶的疲劳特性可以绘制在Haigh图中，但橡胶的等寿命曲线与金属有很大不同。在金属疲劳分析中，假设裂纹总是垂直于最大主应力方向扩展，而这对于橡胶来说并不总是正确的，特别是在涉及应变结晶和非松弛载荷的情况下。因此，对于橡胶疲劳分析，需要使用临界平面分析方法[5]，通过计算材料单元在多个潜在疲劳开裂面上的疲劳寿命，找出其中具有最短寿命的裂纹平面，将其确定为最危险的开裂面。
图4显示了疲劳寿命和临界平面方向对应变幅度和平均应变的依赖性。为每对应变振幅和平均应变坐标绘制一个球体，其上的颜色表示疲劳寿命，单位法向量表示临界平面方向。可以看出，平均应变和应变幅值的不同组合可以产生一定范围的裂纹平面取向。
图4. 临界平面分析包括整合每个可能裂纹方向的裂纹扩展速率定律，并确定产生最短寿命的方向（图4左）。Haigh图（图4右）中的每个点都与其自身的临界平面方向相关联。
天然橡胶（NR）和丁苯橡胶（SBR）的Haigh图如图5所示。在这些图像中，红色表示疲劳寿命短，蓝色表示疲劳寿命长。对于天然橡胶（图5左），Haigh图的长寿命区域呈现出显著的圆顶状形状，表明在应变诱导结晶的影响下平均应变对提高寿命的有益效果。相反，SBR的疲劳寿命总是随着平均应变的增加而降低。即使如此，SBR的Haigh图具有与材料的超弹性相关的非线性特征，这也不同于金属。
图5. 为NR（左）和SBR（右）橡胶计算的图表。
需要注意的是，橡胶中的应变结晶效应与温度相关。在较冷的温度下，这种影响较强，而在较高温度下，这种影响较弱。图6比较了三种不同温度下结晶橡胶的实验Haigh图[6]（顶部）和计算结果（底部）。
图6. 天然橡胶在3个温度下的实验Haigh图【6】（顶部），与计算的Haigh图（底部）进行比较。温度升高往往会降低应变结晶的有益效果。
总之，拉伸平均应力对于金属材料总是有害的，但对于橡胶材料中，它可能是有益的，也可能是有害的，这取决于橡胶是否具有应变结晶效应。给橡胶施加平均应力的好处可能十分明显——有时会让疲劳寿命提高几个数量级。尤其是在较低的环境温度下，对寿命的增强效果更强，而在较高的温度下，这种有益效果会减弱。临界平面分析对于准确预测橡胶中的应变结晶效应至关重要。
如果将金属疲劳分析的Wohler曲线（S-N曲线）理论用于橡胶的疲劳分析，会错误地认为材料断裂平面总是垂直于最大主应力方向。对于受到非松弛加载作用的应变结晶橡胶而言，这一结论是不对的。
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References
[1] Stephens, R. I., Fatemi, A., Stephens, R. R.,& Fuchs, H. O. (2000). Metal fatigue in engineering. John Wiley & Sons.
[2] Ramachandran, Anantharaman, Ross P. Wietharn, Sunil I. Mathew, W. V. Mars, and M. A.Bauman.(2017) “Critical plane selection under nonrelaxing simple tension with strain crystallization.” In Fall 192nd technical meeting of the ACS Rubber Division, pp. 10-12.
[3]Mars,W. V. (2009). Computed dependence of rubber’s fatigue behavior on strain crystallization.Rubber Chemistry and Technology, 82(1), 51-61.
[4] Harbour, Ryan J., Ali Fatemi, and Will V. Mars. “Fatigue crack growth of filled rubber under constant and variable amplitude loading conditions.” Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures 30, no. 7 (2007): 640-652.
[5] Mars, W. V. (2021). Critical Plane Analysis of Rubber. Fatigue Crack Growth in Rubber Materials: Experiments and Modelling, 85-107.
[6]Ruellan, Benoît, J-B. Le Cam, I. Jeanneau, F. Canévet, F. Mortier,and Eric Robin. “Fatigue of natural rubber under different temperatures.” International Journal of Fatigue 124 (2019): 544-557.
