《Mechanics of Solid Polymers》5.3.10 八链模型(续)
该函数的逆函数被称为逆朗之万函数 L⁻¹(x),无法用基本函数表示。如上所述,为了数值计算EC模型的应力,需要求解逆朗之万函数。这可以通过方程(5.112)使用数值方程求解器来完成,例如牛顿法。然而,这种方法计算成本较高,因此开发了多种更快的近似方法。Arruda和Boyce [28] 开发的一种方法是将逆朗之万函数表示为级数展开: 另一种方法由Bergstrom [23] 开发,他将函数响应分为两个区域。对于|x|<0.84136的值,函数用基于tan函数的曲线拟合表示,对于0.84136≤|x|值,函数用其渐近形式表示:这些不同的近似方法在图5.20中进行了比较,表5.3给出了各近似方法精度的比较。这些数值近似之间的差异可能看起来更像一个学术问题而非重要的实际问题,但由于不同的有限元软件决定以不同方式实现逆朗之万函数,这个问题变得重要起来。例如,Abaqus使用级数展开,而PolyUMod库 [31] 使用更精确的Bergstrom解法。图5.20展示了计算逆朗之万函数的不同方法的比较。
表5.3比较了不同方法在计算逆朗之万函数时的误差:
近似方法 | 在x = 0.7时预测的相对误差 |
---|
Bergstrom近似 | 0.06% |
5项级数展开 | 18.5% |
Padé近似 | 4.3% |
换句话说,很难将EC模型的参数从一个有限元求解器转换到另一个。可能需要为每个特定的有限元软件包重新校准模型。
示例:高斯链
对于高斯链(而不是朗之万链)情况下的EC模型,其本构关系可以通过用其级数展开的第一项替换逆朗之万函数直接得到:
这与NH模型(方程(5.74))得到的是一样的。