边界元处理多域问题-拉普拉斯方程
简述
在上篇边界元文章中，介绍的是均匀的二维同轴圆的边界元实现，在实际问题中，多种介质材料是必然的，而对于边界元而言，由于其依赖于均匀空间的基本解，因此在多域（多材料）问题上需要特殊处理。
本文依然以简单二维同轴圆为案例模型，介绍研究区域中存在两个区域情况下的边界元是如何实现的，依次延展可以推广到任意多区域的边界元处理方法。
1.边值问题
对于以下模型，满足拉普拉斯方程，模型存在两个区域，区域1、2的材料不一致，例如介电常数不一致（ε₁、 ε₂）。
该模型存在解析解公式：
2.多域边界元推导
由于最基本的边界元研究区域必须是均匀的，因此将上述区域分成两个区域来考虑，区域1、区域2分别满足拉普拉斯方程。
在外部边界条件r=R1，r=R2位置为第一类边界条件，分别落在各自的区域。对于红色 区域分界边界，根据拉普拉斯方程，满足以下条件：
在电磁学中，分别表示电势连续和电位移连续。可见区域1、2的介电常数差异在公式中体现在边界条件的连续性上。
接下来，需要把不同区域的边界元表达式写出来，然后想办法通过交接区域的边界条件联立区域1、区域2的基本方程。
首先，对每个区域应用格林公式，得到边界积分方程：
其中G表示二维拉普拉斯方程的基本解：
最终可以化简为：
写成矩阵求解公式：
其中：
上述是对单个区域的边界元的推导，更加详细可以参考：
接下来考虑内部交接边界条件，把各自区域分成交接区域与非交接区域，此时，方程可以写成：
其中ot边界无关交接区域的边界，bc表示两个区域的交接边界。根据上述各自的边界条件，已知：
因此，方程的右端项的第一项是可以通过积分获得的右端项，此时方程可以改写成：
然后考虑交界面的边界条件：
带入上述等式，得到耦合方程：
将方程写成矩阵形式，能更加清晰地表示：
可见，带入交界面边界条件后，成功将两个基本边界元方程耦合在一起。求解上述方程，即可得到交界面区域的电势与对应的梯度。
然后通过交接面的边界条件，恢复各自区域的数值与梯度。最后在各自区域使用基本的边界元方程，即可获得任意位置的电势分布。
3.测试结果
测试参数：
%同轴圆 半径，数值R1 = 0.1; %内半径R12 = 0.3; %交界半径R2 = 0.5; %外半径u1 = 1; %内半径电势为1u2 = 0; %外半径电势为0epr1 = 3.0; %区域1 介电常数epr2 = 1.0; %区域2 介电常数dth = 10; %圆剖分的步长，度数
网格如下：
边界元结果与理论解进行对比：
结果显示，趋势与理论解基本一致，误差在分界面上最大。值得注意的是，对于零阶基函数而言，适当的高阶高斯积分能有效提高精度。上述结果为四阶高斯积分结果，下面依次展示1~3阶的高斯积分结果作为对比。
一阶高斯积分结果：
二阶高斯积分结果：
三阶高斯积分结果：
因此在实际操作中，在效率与精度的平衡下，适当的使用高阶高斯积分，能得到更高的精度。
总结
本文介绍了多域边界元的实现方程，从两个区域的模型入门，详细阐述了耦合边界的具体公式与实现手段。
相比于单域而言，多域问题在耦合边界的精度对高斯积分的阶数有了明显的体现。这也反过来说明耦合边界处的精度明显比其他地方低。
对于更加复杂的模型而言，这种传统的耦合方法效率会越来越低，这就必须使用更多的技术来处理，例如边界元+有限元结合、快速多极子方法、区域分解等等。
