张量的转换-协变基，逆变基与局部坐标基
在有限元分析中，采用张量描述物理量是一种很自然而又常见的手段。通过张量，可以方便地描述物理量在不同的坐标系下的变换关系。张量的一个重要概念是基。在张量的世界里，“基”（basis）就像搭建坐标系的 “骨架”，所有张量分量的意义都依赖于这组 “骨架” 而存在。在三维欧几里得空间中，我们熟悉的直角坐标系有 3 个正交的单位向量（i, j, k），它们就是最简单的 “基”。但张量的基更具一般性 — 它可以适应任意坐标系（比如曲线坐标系、斜交坐标系）。当采用曲线/斜交坐标系时，协变基
和逆变基
是经常使用的向量基，其具体表示如下：由图可以看出，逆变基是垂直于协变基的“轴”对应的基。对于任一张量，其既可以用协变基表示，又可以用逆变基表示。应力张量在协变基下和逆变基下的表示：如果我们知道了张量在协变基下的分量以及协变基，可以通过转换得到逆变基下的分量及逆变基。当然，也可以得到其他任何一个笛卡尔直角坐标系下的张量分量。通过上述转换关系，我们可以自由地在协变基，局部坐标系，逆变基之间对张量进行转换。在板壳单元的编程中，一种常见的抑制一阶剪切板壳单元剪切自锁发生的技术叫做假定自然应变（ANS），其就是对逆变基下的协变应变分量进行特殊插值得到积分点处的应变。在该方法中，协变基向量通常采用以下定义：
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首次发布时间：2025-08-15
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