有限元基础知识：几何非线性中的TL与UL

之前介绍过非线性分析，包括材料、几何与接触非线性，

有限元基础知识：非线性分析

几何非线性：应变张量

今天就几何非线性着重说一下，对于几何非线性分析有两种基本描述方法，Total Lagrange（TL）和Updated Lagrange（UL）方法是两种主要拉格朗日框架。它们的核心区别在于参考构型的选择，这直接影响了应变、应力度量和平衡方程的数学形式。

参考构型用“人话”来说就是你的变形、应变是基于哪个形状定义的？是初始时刻的呢？还是    时刻的呢?

以下从理论公式和实际案例两方面详细说明其差异：

参考构型的定义

• Total Lagrange（TL）方法

始终以初始未变形构型（时间     ）为参考。所有物理量（如应变、应力）均映射到初始构型上描述。
关键公式：
• 应变度量：Green-Lagrange应变张量

其中        为位移，       为初始坐标, 后续大写    普遍表示未变形的形体 位置坐标，也就是对应于    时刻。
• 应力度量：第二类Piola-Kirchhoff应力张量       ，与Green应变共轭。

• Updated Lagrange（UL）方法

以上一增量步的变形后构型（时间      ）为参考。物理量在每个增量步更新到最新构型。
关键公式：
• 应变度量：Almansi应变张量（或增量形式的对数应变）

• 应力度量：Cauchy应力张量  \sigma ，直接描述当前应力状态。

平衡方程的弱形式

• TL方法的平衡方程：

积分域为初始体积       ，需处理几何非线性项（如位移二次导数）。

• UL方法的平衡方程：

积分域为当前体积       ，几何非线性通过构型更新隐式处理。

应力更新算法

• TL方法：

应力通过材料本构模型直接更新为第二类Piola-Kirchhoff应力：

其中        是弹性张量。

• UL方法：

先计算Cauchy应力增量，再通过旋转张量更新：

     为旋转张量，       为Almansi应变增量。

收敛性与计算效率

很多教材与论文都会探讨这两者的收敛性是效率的，然而事实上是这东西跟谁编程，怎么写代码关系非常大。我只能说天下没有免费的午餐，你得到一些东西的同时总会失去一些东西，常规上来说可以做如下总结

• TL方法：因初始构型固定，Newton-Raphson迭代易因大旋转步发散，如果对于变形没有那么大，没有接触的材料非线性+结合非线性是比较适合的

• UL方法：构型逐步更新，Jacobian矩阵条件数更低，迭代更稳定，又由于每步都更新构型，对于接触分析比较适合

两种方法本质是同一物理规律的不同数学描述：TL更适合材料非线性主导问题(y由于不用更新构型)，UL更擅长几何非线性与接触耦合场景（因为接触你反正无论如何都得更新构型，虽然正常教科书上绝对不会说是这个理由）。实际应用中（如Abaqus/ANSYS）常混合使用，例如UL处理接触边界，TL处理材料本构。

以下是一个基本的TL的代码流程，大家可以以此作为参考：