01.有限元法介绍
20世纪60年代初Clough首次提出结构力学计算有限元概念，形象地将其描绘为：有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。
有限元法将函数定义在简单几何形状的单元域上，不考虑整个定义域的复杂边界条件，基于变分原理和数学上的插值思想，求解一个或一组微分或偏微分方程。
一、有限元概述
有限元法是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题转化成线性代数方程组求解。
真实系统 有限元模型
有限元法也称为有限单元法，简称FEM(Finite Element Method )。
有限元法特点：
①微分方程定解问题---如弹塑性力学问题、传热学问题、电磁学问题等；
②数值计算、近似方法---由有限个离散体（单元）通过节点相连接近似连续体，数值解近似解析解 ；
③与计算机高度结合；
除有限元法外，还有有限差分法、有限体积法、边界元法、无网格法等。
有限元作用：
(1)减少模型试验的数量；计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验。
(2)模拟不适合在原型上试验的设计；例如器官移植，比如人造膝盖。
(3)节省费用，降低设计与制造、开发的成本。
(4)节省时间，缩短产品开发时间和周期。
(5)创造出更可靠、高品质的设计。
二、基本思想
有限元法的基本思想：
■ 将连续体分割成有限数目的、离散的单元 ；
■ 单元之间仅通过有限数目的节点连接 ；
■ 在单元内部用简单的函数插值近似物理量的复杂变化关系；
■ 将无限个自由度的微分方程问题变成为有限个（节点）自由度的线性代数方程问题；
有限元解析
三、有限元分析的主要过程
有限元的解题步骤：
| 1.连续体的离散化 | ---离散 | 前处理 |
| 2.选择位移模型 | ---单元分析 | |
| 3.用变分原理推导单元刚度矩阵 | ||
| 4.集 合整个离散化连续体的代数方程 | ---整体分析 | |
| 5.求解位移矢量 | ---求解 | 求解 |
| 6.由节点位移计算出单元的应变和应力 | ---后处理 | 后处理 |
 |
节点：
单元：
从单元的几何形状特征分为三维单元（空间单元）、二维单元和一维单元三大类。
有限元分析过程：
◯前处理：
①连续体的离散化----将要分析的结构对象用一些假想的线或面进行切割，使其成为具有指定形状有限单元（element）。
②选择位移模型----将单元中任意一点的位移近似地表示成该单元节点位移的函数，该位移称为单元的位移函数。利用应变和位移之间的关系---几何方程，将单元中任意一点的应变用待定的单元节点位移表示。
③推导刚度矩阵----按离散情况集成所有单元的特性，建立表示整个结构节点平衡的方程组在得到单元特性分析的结果后，用虚位移原理或最小势能原理对各单元仅在节点相互连接的单元集 合体进行推导，可以建立表示整个结构节点平衡的方程组，即整体刚度方程。
◯ 求解-----求解位移矢量，根据整体刚度方程求解线性代数方程组。
◯后处理-----由节点位移计算出单元的应变和应力。
【4】有限元应用
■ 有限元分析 Finite Element Analysis (FEA)——用有限元法分析求解工程问题
■ 有限元法的工程应用领域——机械工程、航天航空、土木工程、汽车工程、电子工程
■ 工程实际问题
①结构分析（静力分析，动态分析；线性分析，非线性分析）
②热流分析、流体分析
③电磁分析
④······
汽车行业应用：
齿轮分析 发动机缸体分析
整车碰撞分析
土木工程应用：
鸟巢受力
航空航天应用：
飞机受力分析
