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NFX|显式积分法explicit time integration

MIDAS官方

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midas NFX的动态分析或瞬态响应分析使用显式时间积分法(explicit time integration)。并且使用了在显式时间积分法中使用较普遍的中心差分法和集中质量法。

• 中心差分法

为对时间轴使用中心差分法将时间步骤分为

和n, n+1步骤。

步骤n+1的位移可由

步骤的速度来计算。

步骤

的速度可由n步骤中的加速度按下式计算。

加速度

可通过空间上的离散化(discretization)计算如下。

使用中心差分法的显式时间积分法表现为(5.6.2)~(5.6.4)公式的反复计算过程。另外，使用了对角矩阵形态的质量矩阵，因此公式(5.6.4)中计算逆矩阵的效率较高。对每个时间增量重复上述计算过程，可有效模拟结构的瞬态动力特性、准静态特性等一般的动力特性。

• 临界时间步长(critical time step)

相比隐式时间积分法的算法比较简单且具有较强稳定性的特点，显式时间积分法具有条件稳定性(conditional stability)。即时间步骤的大小超过临界值时结果将会发散。此时临界时间步长(critical time step)或最小稳定时间步长(minimum stable time step)取分析模型中所有单元的稳定时间步长中的最小值

其中，

为线性化结构的最大频率，

为各单元的最小稳定时间步长。另外，α 是为提高显式时间积分的稳定性而引入的调整因子，默认使用0.85。

各单元的最小稳定时间步长一般可按下式计算。

其中，

是单元的特征长度(characteristic length)，一般为单元内部的最短直线距离。扩张波速(dilation wave speed)

由材料特性决定，例如三维单元的扩张波速如下。

M：膨胀弹性模量

K，μ：体积弹性模型、剪切模量

临界时间步长一般都非常小，为了提高显式时间积分法的分析效率，需要缩短计算各单元内力的时间。因此在显式时间积分法中一般不使用高次单元，对于低次单元也使用一些可降低计算量的方法。表5.6.1是在midas NFX的显式时间积分法中可使用的单元类型(节点数)和单元处理方法。

• 人工体积粘度(artificial bulk viscosity)

使用显式时间积分法做动力分析时，当运动较为剧烈时需要利用人工体积粘度将中央差分的解稳定化。

体积应变速度(volumetric strain rate)为负数(即产生压缩速度)和为正数时由体积粘性计算压力的公式不同，分为与体积应变速度成比例的部分和与体积应变速度的平方成比例的部分。下面是三维单元的压力。

该压力反映在单元应力中将引起单元内力的变化。因粘性效果产生的压力并不是通过单元应变和本构方程产生的应力，因此该应力只反映在内力计算上。

，

算人工体积粘性的系数，默认值分别为1.5、0.06。

对于受弯的单元，例如常用梁单元或壳单元，对弯曲变形的人工体积粘性将追加在公式(5.6.9)中。

• 衰减(阻尼)效果

midas NFX中提供的衰减类型有质量比例阻尼(mass-proportional damping)、刚度比例阻尼(stiffness-proportional damping)和结构阻尼(structural damping)。在显式时间积分动态分析平衡方程(5.6.4)中考虑衰减效果时公式如下。