泊松方程的三维六面体任意高阶有限元实现
简述
本文继续介绍三维六面体的高阶有限元实现过程，承接之前一维、二维结果，三维仅在二维基础上多了一个维度，实现起来也比较容易。
一维、二维的内容这里不再介绍，依旧采用泊松方程作为示例，一维、二维任意阶有限元具体流程参考以下三篇文章：
1.六面体基函数
对于1阶而言，其表达式为：
其中，将各方向的线性基函数落在[-1,1]上，得到如下转化关系：
不难想到，其通式可以表示为：
由此，其梯度可以表示为：
2.系数矩阵推导
推导与二维四边形推导一致，这里直接给出三个方向的推导。x方向偏导数：
Y、Z方向的偏导数同样可以获得：
右端项推导：
推导完成，剩下的交给高斯积分来求解具体单元系数矩阵！
3.系数矩阵组装
这里与二维四边形网格存在的难点一致，首先需要确定六面体节点的局部节点顺序，然后再实现全局节点到局部节点的映射关系。
具体实现根据六面体本身的拓扑关系获得，类似四边形，只是过程繁琐而已。
4.结果展示
模型大小10*10*10，剖分为numx*numy*numz=4*4*4=64个网格。
Eg1:1阶情况，共计125个未知数
其非零元素的稀疏矩阵分布如下：
从稀疏矩阵规律看出，结构化网格的确很符合有限元逻辑，矩阵呈现稀疏化，并且非零元素集中成带状，这种形态也便于线性求解器求解。
对于4*4*4网格而言，1阶的结果看起来还是太粗糙。
Eg2：对于2阶，共计729个未知数
其非零元素的稀疏矩阵分布如下：
三维可视化结果，将节点值显示如下：
Eg3：针对4阶，未知数大量增加，共计4913个
同样，对应非零元素的稀疏矩阵分布如下：
三维可视化结果，将节点值显示如下：
从2阶、4阶的结果，随着阶数增加，未知数也成倍增加，结果也更加精致。并且从高阶的非零元素分布，可以清晰看出网格个数是由四个组成，并且同侧非对角线的带状条数也代表了具体阶数。
最后
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首次发布时间：2024-12-06
最近编辑：1月前
硕士
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