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菜鸟式给你讲讲CFL条件是什么以及怎么用

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CFL条件,即Courant-Friedrichs-Lewy条件,是用于模拟对流或波动现象的不稳定数值方法稳定性的一个条件。因此,它在计算流体动力学(CFD)中扮演着重要角色。

下面的部分将讨论数值上推导出CFL条件的过程,然后在后面部分中,通过一个案例检验其实际设置计算结果。

什么是CFL条件?

Culbert B. Laney在《Computational Gasdynamics》一书中对CFL条件的定义如下:完整的数值依赖域必须包含物理依赖域(the full numerical domain of dependence must contain the physical domain of dependence)

因此,CFL条件表达了在网格内任何信息在时间步长内传播的距离必须小于网格元素之间的距离。换句话说,给定单元或网格元素的信息必须仅传播到其紧邻的邻居。

CFL条件常与线性稳定性条件或非线性稳定性条件混淆。然而,需要强调的是,它不是稳定性的充分条件,通常其他稳定性条件比CFL条件更具限制性。

CFL推导

我们可以以简单直观的方式推导CFL条件。让我们从考虑一个简单的线性对流问题开始,即量_u_的对流:

对于简单的量_u_的线性对流问题,一阶显式迎风格式变为:

其中_a_是速度大小,_Δt_是时间步长,_Δx_是网格元素之间的长度。

通过对这个格式进行泰勒级数展开,这个格式引入了所谓的数值扩散,或数值粘度,等于:    

正如从扩散系数预期的那样,数值扩散系数必须是正的,否则,解决方案将随时间无限增长,使数值方案不稳定。

上述表达式中的右括号内的项通常被称为库朗特数,它是一个无量纲量。因此,库朗特数可以表述如下:

根据数值扩散系数的讨论,对于任何显式的简单线性对流问题,库朗特数必须小于或等于1,否则,数值粘度将是负的:

1928年,库朗特、弗里德里希斯和莱维在一篇文章中首次引入了这个条件。这个推导被认为是对CFD技术发展最有影响力的作品之一。

CFL条件的其他类型问题

这种讨论可能只对显式方案成立。同样重要的是,简要讨论在更现实的问题中发生的情况。

首先,隐式的线性对流是无条件稳定的,也没有CFL条件。这是因为隐式方案使用整个域来计算每个时间步长。然而,每个时间步长隐式计算(即,求解隐式线性系统)可能非常昂贵。此外,随着时间步长的增加,时间精度会降低。因此,使用带有较低时间步长的显式方案是合理的。

对于更复杂和有代表性的问题,包括非线性流动,CFL条件作为设置时间步长的参考。此外,当处理非线性现象时,即使选择了较大的库朗特数,隐式形式也可能存在稳定性问题。因此,在这些情况下,可能需要对线性化公式进行局部稳定性分析。尽管如此,CFL条件对于非线性问题仍然是必要的。    

常见CFL使用

让我们从一个模拟实例的问题开始。

实例采用水渠流动的案例,它由一个带有入口和出口的矩形盒子组成。入口规定一个速度入口边界条件,出口将由规定的压力边界条件组成。

          

          

当选择0.001秒的时间步长,入口速度为5m/s。收敛图如下所示:

          

   

          

通过检查图表,可以清楚地看到,最终问题的最大库朗特值超过了1。

通过将时间步长增加到仅0.004秒,库朗特数上升到2.0以上,导致求解器发散并显示错误。然后模拟被中断:

          

          

解决CFL收敛问题

有几种方法可以解决这种收敛问题。回想库朗特数:

为了降低这个值,可以:

- 降低时间步长,或

- 制作更粗糙的网格。

第二个选项对某些人来说有时是违反直觉的,因为它似乎不合理,更粗糙的网格可以帮助收敛。然而,很容易理解,更细的网格有助于准确性。这激励工程师创建更细的网格,但忘记了降低时间步长值。

关于第一个选项,正确的时间步长值并不总是显而易见的。问题可能在模拟过程中发生复杂现象。这要求工程师为模拟设置一个低时间步长,即使这些复杂现象只在一小部分模拟时间内发生。    

一般CFD求解器允许使用可调整时间步长。此选项默认激活,并有两个参数:

- 最大库朗特数

- 最大时间步长

将最大库朗特数设置为一个安全值,例如0.5,看看模拟会发生什么:

求解器能够将最大库朗特数保持在0.5左右,这足以使模拟很好地收敛。


来源:CFD饭圈
非线性UM
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首次发布时间:2024-09-08
最近编辑:1月前
CFD饭圈
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极度深入,探讨下涡流形成和雷诺系数的关系

点击上方蓝下图是Nature Communications 期刊计算了不同雷诺系数下的涡流形成。涡流(vortex)是流体流动中一种典型的旋涡状结构,其形成与流体内部的流动不稳定性密切相关。涡流的产生、演化及其影响因素众多,其中一个重要的关联参数就是雷诺数(Reynolds number)。雷诺数是流体动力学中衡量惯性力与粘性力相对重要性的无量纲数,其定义为:其中:·ρ 是流体的密度,·v 是特征流速(如平均流速或最大流速),通常取于所考虑的流动区域或特征长度处,·L 是特征长度(如管道直径、物体特征尺寸等),代表流动的几何尺度,·μ 是流体的动力粘度。 雷诺数与涡流形成的关系可以从以下几个方面来详细阐述: 一、转捩雷诺数雷诺数是判断流体流动状态(层流与湍流)的重要指标。在低雷诺数(Re << 1)条件下,流体内部的粘性力显著,足以迅速抑制任何微小的流动扰动,使得流体分子保持有序、平行的层状流动,即层流。然而,随着雷诺数增大,惯性力逐渐增强,对流动扰动的影响加大。当雷诺数超过某个临界值(通常称为转捩雷诺数,记作 RecritRecrit)时,流体内部原有的层流结构开始不稳定,扰动得以放大并传播,最终形成涡旋结构,流动进入湍流状态。 二、涡旋生成机制在雷诺数较高的湍流流动中,涡旋的形成主要有以下几种机制:·剪切层不稳定:在层流与湍流过渡区域,流体速度梯度较大,导致剪切应力增加。当雷诺数超过阈值时,剪切层内的小扰动因惯性力的作用而不断增长,形成涡旋。 ·卡门涡街:在流体绕过圆柱、圆管或其他障碍物时,由于边界层分离和逆压梯度,会在物体后方形成交替排列的涡旋对,即卡门涡街。雷诺数对此现象的发生有直接影响,高雷诺数下涡街更易形成且更为明显。·旋涡脱落:在特定的几何结构(如弯头、扩缩管等)中,流体流动受到强烈扰动,边界层内的涡旋可能从壁面剥离并卷入主流,形成大规模的涡旋结构。雷诺数高时,这种脱落过程更加频繁且强烈。 三、雷诺数与层流-湍流转变:·层流:当雷诺数远低于某个临界值时,流体流动表现为层流(Laminar flow)。在层流状态下,流体质点沿平行的流线有序流动,彼此间几乎没有横向混合,流场平滑且可预测。此时,粘性力占主导地位,能够有效地抑制流场中的微小扰动,防止它们发展成涡旋。·转捩雷诺数(RecritRecrit):在特定流动条件下,存在一个特定的雷诺数,当流体的雷诺数接近或超过这个值时,层流开始变得不稳定,流动开始向湍流过渡。这个临界雷诺数被称为转捩雷诺数。对于简单管道流动或平板边界层,转捩雷诺数的经典经验值约为2300,但实际流动中,由于流道几何形状、流体性质、壁面粗糙度等因素的影响,转捩雷诺数可能会有所不同,范围大致在2000至2300之间,甚至更高或更低。 ·湍流:当雷诺数超过转捩雷诺数后,惯性力逐渐占据主导地位,使得原本被粘性力抑制的小扰动得以放大并持续传播。这些扰动在流场中发展成涡旋结构,并进一步相互作用、合并、分裂,形成复杂的涡旋网络,这就是湍流(Turbulence)。湍流中流体质点的轨迹变得高度不规则,流场呈现出强烈的时空变化和混沌特性。 四、涡流形成的具体雷诺数范围:尽管转捩雷诺数提供了从层流到湍流转变的粗略界限,但在实际应用中,涡流的形成可能在更高的雷诺数下更为显著:·过渡区间:在雷诺数略高于转捩雷诺数(如2000至4000之间)时,流动可能处于层流与湍流的过渡状态,涡旋开始出现但并不十分明显,局部可能存在涡旋结构,整体流动仍然部分保持层流特性。·典型湍流区间:当雷诺数进一步增大至4000以上时,流动通常被认为是充分发展的湍流。在这个范围内,涡旋生成、演化和相互作用非常活跃,形成了典型的湍流特征,如强烈的涡旋混合、能量耗散和速度脉动。 需要注意的是,上述雷诺数阈值是针对特定流动配置(如圆管流动、平板边界层等)的一般经验准则。对于其他复杂几何形状(如弯管、扩缩管、螺旋桨等)或特定流体(如非牛顿流体、多相流等),涡流的形成可能在不同的雷诺数下发生。此外,壁面粗糙度、温度效应、外部扰动等因素也会影响涡流形成的雷诺数阈值。 五、涡旋的演化与相互作用在高雷诺数湍流中,涡旋不仅易于生成,还表现出强烈的非线性行为。涡旋可以相互吸引、排斥、合并、分裂,形成复杂的涡旋结构网络。雷诺数越大,涡旋的生成、演化速度越快,涡旋尺度分布更广,能量传递跨越多个尺度,从而导致流动的复杂性和不可预测性增加。 六、雷诺数对涡流影响的实验观察实验研究表明,通过改变流速、管径或流体性质(从而调整雷诺数),可以直观地观察到流场从层流向湍流的转变以及涡旋的出现与发展。例如,在管道流实验中,随着雷诺数增大,通过可视化技术(如粒子成像测速PIV、激光诱导荧光LIF等)可以看到流场从规则的层流条纹逐渐转变为混乱的涡旋结构。 七、雷诺数在工程应用中的意义理解雷诺数与涡流形成的关系对于许多工程应用具有重要意义。例如,在设计管道、叶片、船体等流体设备时,通过合理控制雷诺数,可以预测和避免不利的涡流现象(如旋涡脱落引起的振动、阻力增加),或者利用涡流实现特定功能(如混合、传热增强)。此外,在环境流、生物流等领域,了解雷诺数对涡流形成的影响有助于解释自然现象和优化相关技术。 总结来说,雷诺数是描述流体流动状态转变、涡旋生成机制、涡旋演化过程以及工程应用中涡流控制的关键参数。它量化了惯性力与粘性力之间的相对强度,高雷诺数倾向于引发和维持涡旋结构,而低雷诺数则有利于保持层流流动。通过调控雷诺数,可以有效地预测和管理流体系统中的涡流现象。 ‍‍‍来源:CFD饭圈

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