SOR迭代法解线性方程组

本文摘要（由AI生成）：

本文介绍了SOR迭代方法，它是在Gauss-Seidel迭代法基础上进行改进的一种数值求解线性方程组的方法。SOR迭代通过取前后两次迭代结果的加权平均来加速收敛过程。其中，参数ω的选择对SOR迭代的收敛速度至关重要。当ω=1时，SOR迭代退化为Gauss-Seidel迭代；ω>1时称为逐次超松弛迭代，ω<1时称为逐次低松弛迭代。通过数值算例比较了Jacobi、Gauss-Seidel和SOR三种方法的收敛性能，发现合理选择ω值能使SOR迭代比Gauss-Seidel更快收敛。文章还提供了SOR方法的Fortran程序示例，并回顾了Jacobi和Gauss-Seidel迭代法解线性方程组的相关内容。

SOR迭代是在Gauss-Seidel迭代方法基础之上的进一步改进。其特征是取xk+1和xk的一个适当的加权平均来加快Gauss-Seidel收敛。对于方程组

Gauss-Seidel迭代格式为

而SOR迭代则是：

显然，参数ω=1时就是Gauss-Seidel迭代。而参数ω>1时称为逐次超松弛(Successive Over-Relaxation,SOR)迭代，ω<1时称为逐次低松弛(Successive Under-Relaxation)迭代。

·数值算例

对于下列的稀疏方程组，其精确解是X=[1,1,...,1]。

1)当n=200时,分别用Jacobi，Gauss-Seidel以及SOR

（ω=1.5和ω=1.2），比较三种方法收敛所需的迭代步数。

2)当n=1000时,分别取ω=1.2，1.3，1.6时SOR收敛所需的迭代步数

合理选择参数ω决定了SOR比Gauss-Seidel更快收敛。如果参数选择不当，SOR反而比Gauss-Seidel更慢。参数ω=1时就是Gauss-Seidel迭代。而参数ω>1时称为逐次超松弛(Successive Over-Relaxation,SOR)迭代，ω<1时称为逐次低松弛(Successive Under-Relaxation)迭代。

SOR方法Fortran程序

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