DFT学习笔记

DFT是一个数学过程，可以用来确定离散信号序列的频率等。

尽管DFT是计算时域信号的频谱的最直接的数学过程，但是他的效率是非常低的。所以，在1965年，Cooley和Tukey提出了用于快速实现DFT的算法。这个算法即是FFT。FFT并不是近似于DFT，而是等于DFT，就是DFT,是实现DFT的方法。

DFT公式简单理解

 DFT的变换公式如下：

其中:

• X(m)是DFT输出的第m项，如X(0),X(1),X(2),X(3)等

• m是在DFT输出在频域上的序号,m=0,1,2,---N-1;

• x(n)是输入样本序列，如x(0)，x(1),x(2),x(3)等

• n是DFT输入在时域上的序号,n=0,1,2,----N-1;

• N是DFT输入时的样本数量以及DFT输出的频率点数量。

          N是一个很重要的参数，其决定了：

   (1) 需要的输入样本数量;

   (2) 频域输出的分辨率;

  (3) 计算N-点DFT需要的时间。

DFT的输入和输出的序号，在标准的DFT中，都是从0到N-1。也就是说，如果时域样本数量为N，则DFT则计算出N个等频率间隔上的频率分量。

DFT的确切的输出频率，与采样率fs(将时域连续信号转换成数字信号的采样率)以及N有关。

N点DFT的输出频率为：

取DFT变换式中的m为0，可以得到:

可以看到X(0)是N个x(n)采样点的和，或者说X(0)等于N乘以x(n)的平均值。X(0)代表x(n)的直流分量，如果X(0)为非零值 ，则代表x(n)序列有一个直流分量。

可以看到X(m)中包括j, 所以，DFT同时计算出隐含在输入信号中的各频率分量的幅度与相位。

也就是说，通过DFT计算(或者说是FFT计算)，可以得出输入信号中的直流分量、各频率分量的幅度以及相位。

测试ADC各通道之间的同步性能，用的就是这个相位。刚开始测试的时候，还不知道怎么才能测试通道间的同步性能。当时，正好准备学习一下数字信号处理方面的知识，然后在书中看到了，然后就用到工作上了。虽然在学校也有数字信号处理这门课，但是真的是忘干净了。

假设有一连续信号：

即包含频率为1KHz和2KHz的信号，而且2KHz信号的相位与1KHz的相比，有135度的移相。

对其做8点DFT，所以我们需要有8个采样点，假设采样频率为8000/s。则用matlab按照DFT的转换公式进行编程运算。

程序如下：

clc;clear all;ts=1/8000;N=8; for m=0:1:(N-1)    Xm=0; for n=0:1:(N-1)    Xm=Xm+(sin(2*pi*1000*n*ts)+0.5*sin(2*pi*2000*n*ts+3*pi/4)).*exp(-j*2*pi*n.*m/N);    Wm(m+1)=Xm; endendm=0:1:(N-1); subplot(2,1,1)%画DFT输出的幅度图stem(m,abs(Wm))axis([0 7 0 4])title('Magnitude of X(m)')xlabel('m') subplot(2,1,2)%画DFT输出的相位图 %忽略掉幅度很小的频率分类tol = 1e-6;Wm(abs(Wm) < tol) = 0;%忽略掉幅度很小的频率分类stem(m,angle(Wm)*180/pi)set(gca,'xtick',[0:1:7])set(gca,'ytick',[-90:45:90])title('phase of X(m)')xlabel('m')

运算的结果，如下图：

m=1，即代表为mfs/N=1KHz处。

由欧拉公式

可知，

所以，X(m)的相位是基于余弦函数的相位。由上图可知，1KHz处的信号相位为-90度。代表的函数即为cos(2*pi*mfs/N*t-90)=sin(2*pi*mfs/N*t)=sin(2*pi*1000*t)，即和输入函数等同。

DFT的对称性

由上图可知，DFT具有明显的对称性。尽管标准的DFT可以接受复数序列，但是实际生活中的大多数输入为实数序列。

当输入序列x(n)为实数序列时，第m个DFT的频率分量的幅度与第(N-m)个DFT的频率分量的幅度相同，相位相反。

即：

也就是说，X(m)和X(N-m)互为复共轭(complex conjugate)。即如果知道X(m),即可知道X(N-m)。

这样的对称关系表明，如果我们对一个实数序列做N点DFT，我们能得到N个复数的DFT输出，但是只有前面的N/2+1个是独立的，后面的数都可以由前面的数计算得到，不提供新的频谱信息。

这就与，厂家的评估软件上，为什么频谱的计算是到fs/2截止 对应上了。

 DFT的线性特性

即：

如果DFT没有这个线性特性的话，则DFT只能分析单音信号，这样的话，DFT就没有什么用了。

DFT的幅度

在使用软件或者浮点硬件来计算DFT时，可能不需要太关注DFT的这个幅度特性(DFT的幅度是输入信号幅度的倍数)；但是如果用定点硬件来执行DFT的话，则需要注意这点。

有时候看到DFT的表达式为：

这个公式，使得DFT的输出幅度为输入信号幅度的一半，但是增加了一个除以N的除法运算。

在实际的分析中，我们对相对幅度感兴趣，对绝对幅度并没有那么关心。

DFT 的时移特性

书中是这样定义的：

It states that a shift in time of a periodic x(n) input sequence manifests itself as a constant phase shift in the angles associated with the DFT results。

有一周期序列，x(n)，假设n=0为第一个采样点，则

假设n=k为第一个采样点，则

即，当n=k为第一个采样点时的DFT与n=0为第一个采样点时的DFT相比，具有rad的相移。

需要注意：

(1) 时移特性，是指把n=k的数据作为第一个采样点，即

2) 证明中用到了

还是比较不容易绕过弯来。

可以这样举个例子：