Norsand模型刚度(弹性)参数的输入

1 引言

NorSand模型的材料属性分为三部分：第一部分是临界状态位置参数CSL，第二部分是塑性Plasticity参数, 第三部分是弹性Elasticity参数。如果按照本构模型来划分，第一部分和第二部分构成了材料的强度Strength属性，而第三部分构成了材料的刚度Stiffness属性。本文主要讨论了NorSand模型刚度属性即弹性参数的输入及其参数值的选择。

2弹性参数

NorSand模型的弹性参数使用剪切模量G(Elastic shear modulus)和体积模量K(Elastic bulk modulus)来表示，如下式所示。应当注意，不同的数值模型改进方法可能使用了不同的符号表示，本文以FLAC3D术语为主。

其中

G_ref---shear-reference, 参考剪切模量(reference shear modulus)，即弹性剪切模量的比例常数(Scaling constant for elastic shear modulus)

p---当前的平均压力(Current mean pressure)

p_ref---pressure-reference, 参考压力(Reference pressure,默认为标准大气压力100kPa)，即初始平均应力(Initial mean stress)

m---exponent, 材料常数，弹性剪切模量的幂(Exponent for elastic shear modulus, exponent of pressure dependence defining elasticity)，0≤m≤1, 默认值为1.0

v---poisson， 材料常数，弹性泊松比(Elastic Poisson's ratio), 默认值为0.2

下面考虑两种极端情况：

(1) 当m=0时，G=G_ref, 相当于一个恒定的弹性剪切模量；

(2) 当m=1时，G=(G_ref/p_ref)p, 相当于弹性剪切模量是线性变化的，具有恒定的剪切刚度Ir=G_ref/p_ref

因而在原始的NorSand模型【原始Norsand模型的参数回顾(Jefferies's Excel VBA code)】中，弹性参数需要输入三个：Ir, p和v。

3不同软件的改进方法

如前文所述，NorSand最初是在EXCEL中运行的，从1995年开始在数值模拟软件中改进，先后包括在FLAC, Plaxis, RS3, Sigma/W等软件中，下面简要总结了这些改进的数值模型弹性参数的输入方法。

(1) FLAC2D/FLAC3D输入

FLAC3D使用了默认的p_ref值(100kPa),因此需要输入的弹性参数为G_ref, m和v。

zone cmodel assign norsandzone property shear-reference 2.097e4 exponent 0.47 poisson 0.15 

(2) RS2/RS3输入

RS3使用了原始Norsand模型的参数G_ref(Shear Modulus at Reference Pressure), p_ref(Reference Pressure for shearModulus), m(Modulus Exponent), v(Poisson's Ratio) 以及阈值最小剪切模量(Minumum Shear Modulus)。 

(3) Plaxis和Sigma/W输入

Plaxis和Sigma/W的输入参数与RS3相同，只是使用了不同的符号表示。

4 选择典型的参数值

对任何数值模拟来说，输入参数值直接决定了模拟结果。下面简要讨论了NorSand模型典型的参数值。

(1) Ir的取值。Ir=G_ref/p_ref，如果取p_ref=100，那么Ir=0.01G_ref, Jefferies在最初对FLAC的改进中，建议Ir=100~800。可以看出，由于应力水平的影响，Ir的范围值很大。在最新版的《Jefferies, M., and K. Been (2015) Soil liquefaction: a critical state approach》中，建议Ir=100~600，进一步缩小了这个值的范围，在没有实测值的情况下，可以取其平均值300~350，从而可以求出G_ref=100Ir。

(2) m的取值。0≤m≤1, 在FLAC3D中，默认值为1.0。如果没有实测值，则一般取m=0.5。

(3) v的取值。Jefferies建议泊松比的值域为0.1~0.3，进一步对砂来说可取v=0.15~0.25，对Fraser River Sand(Fraser River是加拿大一条非常著名的河流), 可取v=0.2, m=0.47(数据来自于GeoStudio)。

5 剪切模量计算

由上述讨论可知，最难输入的参数值是剪切模量G_ref，小应变的剪切模量可以在实验室中通过bender elements求出(ASTM D8295-19)。但在工程中，更广泛使用的方法是通过地震剪切波速(seismic shear wave velocity)来获得剪切模量。使用地震CPT(SCPT)可以获得剪切波速，然后通过使用下式求出剪切模量：

如果没有SCPT数据，通过探头阻力值也可以求出剪切波速，如下图所示，然后代入上式求出剪切模量。

6 结束语

2022年5月25日，Rocscience将要举办一场Webinar, 报告题目是"Using Norsand Constitutive Model for Deformation and Stability Analyses Problems(使用Norsand本构模型进行变形和稳定性分析)"，届时将分享这个Webinar的主要内容。